河北省沧州市普通高中2022届高三上学期数学12月教学质量监测试卷

试卷更新日期：2021-12-31 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {- 1 ， 0 ， 1}$ ， $N = {y | y = x^{2} - 1 ， x \in M}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${- 1 ， 0}$ C、 ${0 ， 1}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1}$

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2. 已知 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是复数，则“ $z_{1} = z_{2}$ ”是“ $| z_{1} z_{2} | = {| z_{1} |}^{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，过点 $A (\sqrt{2} ， 0)$ 的直线l与双曲线有且仅有一个交点 $B (2 \sqrt{2} ， 1)$ （非切点），则该双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{2} - 3 y^{2} = 1$ D、 $x^{2} - y^{2} = 7$

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4. 一场篮球比赛中，某队首发的5名球员中，有2人身高超过了2 $m$ .若从这5人中随机选3人，则有2人身高超过2 $m$ 的概率为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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5. 太阳能发电是我国大力提倡的一种新能源发电形式.如图所示，某型号的矩形太阳能电池板用四根垂直于地面的立柱支撑，点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ， $D_{1}$ 均在同一水平面内，且其中三根立柱 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ 的长度分别为100cm，200cm，300cm，则立柱 $D D_{1}$ 的长度是（）

A、100cm B、150cm C、200cm D、250cm

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6. 过点 $A (2 ， 2)$ 作圆 $O ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的两条切线，切点分别为B，C，若 $c o s ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ，则 $r =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ D、 $\sqrt{6}$

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7. 已知 $α \in (- \frac{π}{2} ， 0)$ ，且 $c o s^{2} α + s i n 2 α = \frac{7}{10}$ ，则 $\frac{c o s^{2} α}{1 + s i n 2 α} =$ （）

A、 $\frac{11}{26}$ B、 $\frac{49}{36}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{36}$

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8. 在正三棱锥 $A - B C D$ 中，AB，AC，AD两两垂直，E，F分别是AB，AD的中点，过E，F的平面与棱AC交于点G，且 $V_{A - E F G} ： V_{E F G - B D C} = 1 ： 5$ （V表示体积），则AC与平面EFG所成角的正切值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{4}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{8}$

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二、多选题

9. 已知随机变量X服从正态分布 $N (3 ， 9)$ ，则下列结论正确的是（）

A、X的均值为3 B、X的标准差为9 C、 $P (X \leq 0) = \frac{1}{2}$ D、 $P (0 \leq X \leq 3) = P (3 \leq X \leq 6)$

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10. 设函数 $f (x)$ 的定义域为D，若对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in D$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < 1$ ，则称 $f (x)$ 满足“L条件”，则下列函数满足“L条件”的是（）

A、 $f (x) = - x$ ， $x \in (- 1 ， 1)$ B、 $f (x) = x + \frac{2}{x}$ ， $x \in [1 ， 2]$ C、 $f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ ， $x \in [- \frac{2}{3} ， 1]$ D、 $f (x) = l n x$ ， $x \in (1 ， e)$

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11. 下列函数中，图象为轴对称图形的是（）

A、 $y = c o s 2 x + c o s x$ B、 $y = s i n 2 x + s i n x$ C、 $y = c o s 2 x + s i n x$ D、 $y = s i n 2 x + c o s x$

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，P是正方体表面一动点，下列说法正确的是（）

A、若 $A P = 2$ ，则点P的轨迹长度为 $3 π$ B、若 $A P = C_{1} P$ ，则点P的轨迹长度为6 C、若点P到直线 $B B_{1}$ 的距离为1，则点P的轨迹长度为4 D、若点P到直线 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， CD的距离相等，则满足条件的点P仅有2个

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + λ \vec{b})$ ，则实数 $λ =$ .

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14. 已知点 $A (1 ， 2)$ ， $B (x ， y) (- 6 < y < - 2)$ 都在抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，则直线AB的斜率的取值范围是.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = 20 n^{2} + 3 n - 2^{n}$ ，则 $a_{n}$ 的最大值为.

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16. 已知实数a，b，c满足 $a + b + c = 0$ ， $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2$ ，则a的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} = 2^{(- 1)^{n}} + n$ .

(1)、求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ；

(2)、设 $b_{n} = l o g_{2} \frac{a_{2 n + 2} a_{2 n - 1}}{a_{2 n} a_{2 n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求满足 $T_{n} > 4$ 的正整数n的最小值.

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18. 某城市环保部门随机抽取去年100天的空气污染指数API的监测数据，结果统计如下
API
$[0 ， 50)$
$[50 ， 100)$
$[100 ， 150)$
$[150 ， 200)$
$[200 ， 300)$
$\geq 300$
空气质量
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
重度污染
天数
4
15
18
30
18
15
某企业的经济情况受空气污染影响，当API在 $[0 ， 100)$ 内时，该企业没有经济损失；当API在 $[100 ， 300)$ 内时，该企业每天的经济损失与API之间为一次函数关系，且已知当API为120时，每天的经济损失为380元，当API为250时，每天的经济损失为900元；当API大于等于300时，每天的经济损失为2000元.记该企业每天的经济损失为S（单位：元），设API为 $ω$ .

(1)、直接写出S的表达式；

(2)、随机抽取去年的一天，估计这一天的经济损失S不小于100元且小于700元的概率；

(3)、若本次抽取的100天中有30天是在供暖季，且这30天中有9天为重度污染，完成下面的2×2列限联表，并判断能否有99%的把握认为该城市去年的空气重度污染与供暖有关.

非重度污染
重度污染
合计
供暖季
非供暖季
合计
100
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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19. 在平面四边形 $A B C D$ 中，已知 $A D / / B C$ ， $B D = 4$ ， $A = 60 °$ ， $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ B C D}} = \frac{2}{3}$ （S表示面积）.

(1)、求 $A B + A D$ 的最大值；

(2)、当 $A B + A D$ 取最大值时，求CD.

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20. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是直角梯形， $A B / / C D$ ， $A B = 2 C D$ ， $A B ⊥ B C$ ，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $B C S$ ，且 $△ B C S$ 是等边三角形， $A B = B S$ .

(1)、求证：平面 $A S D ⊥$ 平面 $A B S$ ；

(2)、求平面 $A S D$ 与平面BCS所成锐二面角的大小.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点， $∠ B F_{1} O = \frac{π}{3}$ ， $\vec{B A} \cdot \vec{B F_{1}} = 5$ .

(1)、求C的方程；

(2)、过 $F_{1}$ 且斜率为k的直线l交C于M，N两点，若点 $F_{2}$ 在以MN为直径的圆内，求k的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x + 1}{x^{2}}$

(1)、求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、证明： $e^{x} f (x) < (1 + \frac{1}{x}) e^{x} - 2 x^{2} + x - 1$ .

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API	$[0 ， 50)$	$[50 ， 100)$	$[100 ， 150)$	$[150 ， 200)$	$[200 ， 300)$	$\geq 300$
空气质量	优	良	轻微污染	轻度污染	中度污染	重度污染
天数	4	15	18	30	18	15

	非重度污染	重度污染	合计
供暖季
非供暖季
合计			100

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828