广东省广州市2022届高三上学期数学12月调研测试（B卷）试卷

试卷更新日期：2021-12-31 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x \leq 1}$ ， $B = {x | 0 \leq x \leq 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x \leq 2}$ B、 ${x | - 1 \leq x \leq 2}$ C、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$ D、 ${x | - 1 < x \leq 0}$

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2. 复数 $z = \frac{5}{2 - i}$ 的虚部是（）

A、 $i$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{5}{3} i$ D、1

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3. 已知角 $α$ 的终边过点 $P (1 ， 2)$ ，则 $\frac{2 s i n α + c o s α}{3 s i n α - c o s α} =$ （）

A、2 B、1 C、-1 D、-2

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4. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{7} > 0$ ， $S_{11} < 0$ ，则 $S_{n}$ 的最小值为（）

A、 $S_{4}$ B、 $S_{5}$ C、 $S_{6}$ D、 $S_{7}$

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5. 如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合.该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）

A、 $\frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ B、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{9} = 1$

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6. 2021年7月，我国河南省多地遭受千年一遇的暴雨，为指导防汛救灾工作，某部门安排甲，乙，丙，丁，戊五名专家赴郑州，洛阳两地工作，每地至少安排一名专家，则甲，乙被安排在不同地点工作的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{8}{15}$ D、 $\frac{3}{5}$

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7. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的顶点都在球O的球面上， $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，球 $O$ 的表面积为 $\frac{64}{9} π$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{9}$

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8. 已知直线 $l_{1}$ ： $m x - y - 3 m + 1 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $x + m y - 3 m - 1 = 0$ 相交于点P，线段AB是圆C： ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 的一条动弦，且 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，则 $| \vec{P A} + \vec{P B} |$ 的最小值为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2} - 2$ C、 $2 \sqrt{2} - 1$ D、 $4 \sqrt{2} - 1$

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二、多选题

9. 下列命题中，真命题的是（）

A、若样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{10}$ 的方差为2，则数据 $2 x_{1} - 1 ， 2 x_{2} - 1 ， \cdot \cdot \cdot ， 2 x_{10} - 1$ 的方差为8 B、若回归方程为 $\hat{y} = - 0.45 x + 0.6$ ，则变量y与x负相关 C、若随机变量X服从正态分布 $N (3 ， σ^{2})$ ， $P (X \leq 4) = 0.64$ ，则 $P (2 \leq X \leq 3) = 0.07$ D、在线性回归分析中相关指数 $R^{2}$ 用来刻画回归的效果，若 $R^{2}$ 值越小，则模型的拟合效果越好

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10. 如图所示，一个底面半径为 $\sqrt{2}$ 的圆柱被与其底面所成的角为 $θ = 45 °$ 的平面所截，截面是一个椭圆，则（）

A、椭圆的长轴长为4 B、椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、椭圆的方程可以为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 $2 - \sqrt{2}$

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11. 对于函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + c x + d$ ， $c ， d \in R$ ，下列说法正确的是（）

A、存在c，d使得函数 $f (x)$ 的图像关于原点对称 B、 $f (x)$ 是单调函数的充要条件是 $c \geq \frac{1}{4}$ C、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为函数 $f (x)$ 的两个极值点，则 $x_{1}^{4} + x_{2}^{4} > \frac{1}{8}$ D、若 $c = d = - 2$ ，则过点 $P (3 ， 0)$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线有且仅有2条

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $M$ 为棱 $C C_{1}$ 上的动点， $A M ⊥$ 平面 $α$ ，下面说法正确的是（）

A、若N为 $D D_{1}$ 中点，当 $A M + M N$ 最小时， $\frac{C M}{C C_{1}} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、当点M与点 $C_{1}$ 重合时，若平面 $α$ 截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大 C、直线AB与平面 $α$ 所成角的余弦值的取值范围为 $[\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、若点M为 $C C_{1}$ 的中点，平面 $α$ 过点B，则平面 $α$ 截正方体所得截面图形的面积为 $\frac{9}{2}$

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三、填空题

13. 已知 $f (x)$ 为奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = x^{2} - s i n (π x)$ ，则 $f (2) =$ .

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14. 若 ${(\frac{1}{3^{}} - x)}^{n}$ 的展开式中第 $r + 1$ 项为常数项，则 $\frac{r}{n} =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} - 1 ， x \leq λ \\ - x^{2} + 6 x - 8 ， x > λ \end{array}$ ，若函数 $f (x)$ 恰有2个零点，则实数 $λ$ 的取值范围是.

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16. 已知扇形 $P O Q$ 的半径为2， $∠ P O Q = \frac{π}{3}$ ，如图所示，在此扇形中截出一个内接矩形ABCD（点B，C在弧 $\overset{⌢}{P Q}$ 上），则矩形ABCD面积的最大值为.

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四、解答题

17. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $\vec{m} = (c ， b)$ ， $\vec{n} = (\frac{\sqrt{3}}{2} ， s i n B)$ ， $\vec{m} ∥ \vec{n}$ .

(1)、求C；

(2)、求 $s i n A + s i n B$ 的取值范围.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} = 2 S_{n} + n + 1$ .

(1)、证明：数列 ${a_{n} + 1}$ 为等比数列；

(2)、在 $a_{k}$ 和 $a_{k + 1} (k \in N^{*})$ 中插入 $k$ 个数构成一个新数列 ${b_{n}}$ ： $a_{1}$ ， 2， $a_{2}$ ， 4，6， $a_{3}$ ， 8，10，12， $a_{4}$ ， …，其中插入的所有数依次构成首项和公差都为2的等差数列.求数列 ${b_{n}}$ 的前30项和 $T_{30}$ .

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $B C ⊥$ 平面 $P A C$ ， $A D ⊥ B P$ ， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ， $P D = 3 B D = 3$ .

(1)、求证： $P A ⊥ A C$ ；

(2)、求二面角 $P - A C - D$ 的余弦值.

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20. 某校开展“学习新中国史”的主题学习活动.为了调查学生对新中国史的了解情况，需要对学生进行答题测试，答题测试的规则如下：每位参与测试的学生最多有两次答题机会，每次答一题，第一次答对，答题测试过关，得5分，停止答题测试；第一次答错，继续第二次答题，若答对，答题测试过关，得3分；若两次均答错，答题测试不过关，得0分.某班有12位学生参与答题测试，假设每位学生第一次和第二次答题答对的概率分别为m，0.5，两次答题是否答对互不影响，每位学生答题测试过关的概率为P.

(1)、若 $m = 0.5$ ，求每一位参与答题测试的学生所得分数的数学期望；

(2)、设该班恰有9人答题测试过关的概率为 $f (p)$ ，当 $f (p)$ 取最大值时，求 $p$ ， m.

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C$ 的左，右焦点， $M$ 为椭圆 $C$ 上一点， $△ M F_{1} F_{2}$ 的周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、 $P$ 为圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 上任意一点，过 $P$ 作椭圆 $C$ 的两条切线，切点分别为A，B，判断 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 是否为定值?若是，求出定值：若不是，说明理由，

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22. 已知函数 $f (x) = 2 a x - x^{2} - 2 l n x$ .

(1)、若 $f (x)$ 在定义域内单调，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a \leq \frac{5}{2}$ ， m，n分别为 $f (x)$ 的极大值和极小值，求 $m - n$ 的取值范围.

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