2021-2022学年高二上数学期末模拟试卷

试卷更新日期：2021-12-30 类型：期末考试

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一、单选题

1. 等差数列{a_n}的前n项的和为S_n ，且a₁₀₁₃=S₂₀₁₃=2013，则a₁=（）

A、2014 B、2013 C、2012 D、2011

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2. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 3$ ，且 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影与 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影相等，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 等于（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{5}$ C、4 D、5

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3. 首项为 $- 18$ 的等差数列，从第10项起为正数，则公差的取值范围是（）

A、 $(2 ， \frac{9}{4}]$ B、 $(2 ， \frac{9}{4})$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $(\frac{9}{4} ， + \infty)$

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4. 《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）

A、 $\frac{4}{3}$ 钱 B、 $\frac{7}{3}$ 钱 C、 $\frac{8}{3}$ 钱 D、 $\frac{10}{3}$ 钱

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5. 过两直线 $x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ 和 $\sqrt{3} x + y - \sqrt{3} = 0$ 的交点，并与原点的距离等于 $1$ 的直线共有（）

A、0条 B、1条 C、2条 D、3条

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6. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ，过点 $F$ 与 $x$ 轴垂直的直线与双曲线的一个交点为 $B$ ，且 $| A F | = 2 | B F | = 5$ ，则此双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{6}$

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7. 如图，半椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (x \geq 0)$ 与半椭圆 $\frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{x^{2}}{c^{2}} = 1 (x \leq 0)$ 组成的曲线称为“果圆”，其中 $a^{2} = b^{2} + c^{2} ， a > 0 ， b > c > 0$ . $A_{1} ， A_{2}$ 和 $B_{1} ， B_{2}$ 分别是“果圆”与x轴，y轴的交点.给出下列三个结论：

① $\sqrt{2} c < a < \sqrt{2} b$ ；②若 $| A_{1} A_{2} | = | B_{1} B_{2} |$ ，则 $a ： b ： c = 5 ： 4 ： 3$ ；③若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P ，使用 $∠ A_{1} P A_{2} = 90 °$ ，则 $\frac{1}{2} < \frac{c}{a} < \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ .

其中，所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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8. 已知圆 $C_{1} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 2 \sqrt{2})}^{2} = 1$ 和焦点为F的抛物线 $C_{2} : y^{2} = 8 x$ ，点N是圆 $C_{1}$ 上一点，点M是抛物线 $C_{2}$ 上一点，点M在 $M_{1}$ 时， $| M F | + | M N |$ 取得最小值，点M在 $M_{2}$ 时， $| M F | - | M N |$ 取得最大值，则 $| M_{1} M_{2} | =$ （）.

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{17}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则m的取值为（）

A、 $\frac{16}{3}$ B、6 C、3 D、 $\frac{17}{3}$

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10. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，右顶点为 $A$ ，以 $A$ 为圆心， $b$ 为半径作圆 $A$ ，圆 $A$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $M$ ， $N$ 两点，若 $∠ M A N = 60 °$ ，则有（）

A、渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、 $e = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $e = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$

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11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线C的方程是 $\frac{| x - a |}{a} + \frac{| y - b |}{b} = 1 (a > b > 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、曲线C关于 $(a ， b)$ 对称 B、 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为 $\frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ C、曲线C的周长为 $2 (a + b)$ D、曲线C围成的图形面积为 $2 a b$

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12. 在平面直角坐标系中，三点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ， $C (0 ， 7)$ ，动点 $P$ 满足 $P A = \sqrt{2} P B$ ，则（）

A、点 $P$ 的轨迹方程为 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 8$ B、 $△ P A B$ 面积最大时 $P A = 2 \sqrt{6}$ C、 $∠ P A B$ 最大时， $P A = 2 \sqrt{6}$ D、 $P$ 到直线 $A C$ 距离最小值为 $\frac{4 \sqrt{2}}{5}$

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三、填空题

13. 已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n₊₁=a_n+1，则数列{a_n}的通项公式a_n= ．

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14. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，过 $F$ 的直线与抛物线及其准线 $l$ 依次相交于 $G$ 、 $M$ 、 $N$ 三点（其中 $M$ 在 $G$ 、 $N$ 之间且 $G$ 在第一象限），若 $| G F | = 4$ ， $| M N | = 2 | M F |$ ，则 $p =$ ．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = {\begin{matrix} 1, n 为奇数 \\ a_{n - 1} + 1, n 为偶数 \end{matrix}$ ，则 $a_{2018} =$ ， $S_{2019} =$ ．

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16. 已知圆 $x^{2} + y^{2} = 12$ 与抛物线 $x^{2} = 4 y$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点， $F$ 为抛物线的焦点，若直线 $l$ 与抛物线相交于 $M$ ， $N$ 两点，且与圆相切，切点 $D$ 在劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上，当直线 $l$ 的斜率为0时， $| M F | + | N F | =$ ；当直线 $l$ 的斜率不确定时， $| M F | + | N F |$ 的取值范围是．

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17. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是的 $C_{1} D_{1}$ 中点， $M$ 是线段 $A_{1} E$ 上的一点. 给出下列命题：

① 平面 $A B C D$ 中一定存在直线与平面 $A C M$ 垂直；

② 平面 $A D D_{1} A_{1}$ 中一定存在直线与平面 $A C M$ 平行；

③ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ 与平面 $A C M$ 所成的锐二面角不小于 $45 °$ ；

④ 当点 $M$ 从点 $A_{1}$ 移动到点E时，点 $D$ 到平面 $A C M$ 的距离逐渐减小.其中，所有真命题的序号是.

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四、解答题

18. 求符合下列条件的直线方程：

(1)、过点 $P (3 ， - 2)$ ，且与直线 $4 x + y - 2 = 0$ 平行；

(2)、过点 $P (3 ， - 2)$ ，且与直线 $4 x + y - 2 = 0$ 垂直；

(3)、过点 $P (3 ， - 2)$ ，且在两坐标轴上的截距相等．

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 1 ， 5)$ ， $B (- 2 ， - 2)$ ， $C (5 ， 5)$ ，圆 $M$ 为 $△ A B C$ 的外接圆.

(1)、求圆 $M$ 的标准方程；

(2)、过点 $P (7 ， 2)$ 作圆 $M$ 的切线，求切线方程.

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20. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ， ${b_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列，且 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{5} = 3 b_{2}$ ．在① $a_{3} + b_{3} = 14$ ，② $a_{1} b_{5} = 81$ ，③ $S_{4} = 4 S_{2}$ 这三个条件中任选一个，解下列问题：

(1)、分别求出数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{1}{(a_{n} + 3) \log_{3} 3 b_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．

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21. 如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点，AA₁=AC=CB= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ AB．

(1)、证明：BC₁∥平面A₁CD；

(2)、求异面直线BC₁和A₁D所成角的大小；

(3)、当AB=2 $\sqrt{2}$ 时，求三棱锥C-A₁DE的体积.

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22. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中，曲线 $C$ 上的动点 $M (x ， y) (x > 0)$ 到点 $F (2 ， 0)$ 的距离减去 $M$ 到直线 $x = - 1$ 的距离等于1.

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $y = k (x + 2)$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求证：直线 $F A$ 与直线 $F B$ 的倾斜角互补.

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