高中数学人教A版（2019）选修二第四章数列

试卷更新日期：2021-12-30 类型：期末考试

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一、单选题

1. 等差数列{a_n}中，a₁+a₅=14，a₄=10，则数列{a_n}的公差为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{3} = 7$ ， $S_{3} = 12$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、 $10$ B、 C、 $30$ D、

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3. 在正项等比数列{a_n}中，若a₁=2，a₃=8,数列{a_n}的前n项和为 $S_{n}$ ，则S₆的值为（）

A、62 B、64 C、126 D、128

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4. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2}$ 与 $a_{4}$ 的等差中项为5，且 $a_{1} a_{6} = 2 a_{3}$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、21 B、28 C、31 D、32

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5. 各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，若 $a_{2} a_{6} = 4$ ， $a_{3} = 1$ ，则 $\frac{{(S_{n} + \frac{9}{4})}^{2}}{2 a_{n}}$ 的最小值为（）

A、4 B、6 C、8 D、12

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 3 a_{n}$ ，且 $a_{2} \cdot a_{4} \cdot a_{6} = 9$ ，则 ${log}_{3} a_{5} + {log}_{3} a_{7} + {log}_{3} a_{9} =$ （）

A、 $5$ B、 $6$ C、 $8$ D、 $11$

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7. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列.下列结论中正确的是（）

A、若 $a_{1} + a_{2} > 0$ ，则 $a_{2} + a_{3} > 0$ B、若 $a_{1} + a_{3} < 0$ ，则 $a_{1} + a_{2} < 0$ C、若 $0 < a_{1} < a_{2}$ ，则 $a_{2} > \sqrt{a_{1} a_{3}}$ D、若 $a_{1} < 0$ ，则 $(a_{2} - a_{1}) (a_{2} - a_{3}) > 0$

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8. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．若数列 ${a_{n}}$ 是斐波那契数列，则 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \dots \dots + a_{2021}^{2} =$ （）

A、 $a_{2019} a_{2020}$ B、 $a_{2020} a_{2021}$ C、 $a_{2021} a_{2022}$ D、 $a_{2022} a_{2023}$

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二、多选题

9. 由公差为d的等差数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, ...$ 则对重新组成的数列 $a_{1} + a_{4}, a_{2} + a_{5}, a_{3} + a_{6} ...$ 描述正确的是（）

A、一定是等差数列 B、公差为2d的等差数列 C、可能是等比数列 D、可能既非等差数列又非等比数列

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10. 等差数列 ${a_{n}}$ 是递增数列，公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{7} = 3 a_{5}$ ，下列选项正确的是（）

A、 $d < 0$ B、 $a_{1} < 0$ C、当 $n = 5$ 时 $S_{n}$ 最小 D、 $S_{n} > 0$ 时 $n$ 的最小值为 $8$

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11. 设{a_n)(n∈N*)是各项为正数的等比数列，q是其公比，K_n是其前n项的积，且K₅<K₆ ， K₆=K₇>K₈ ，则下列选项成立的是（）

A、0<q<1 B、a₇=1 C、K₉>K₅ D、K₆与K₇均为K_n的最大值

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12. 下列命题正确的是（）

A、给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式 B、若等差数列{a_n}的公差d>0，则{a_n}是递增数列 C、若a ，b，c成等差数列，则 $\frac{1}{a} ， \frac{1}{b} ， \frac{1}{c}$ 可能成等差数列 D、若数列{a。}是等差数列，则数列{a_n+2a_n+1}不一定是等差数列

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三、填空题

13. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} + a_{4} = 4$ ， $a_{2} = 2$ ，则公比 $q =$ ．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的乘积为 $T_{n}$ ，若 $a_{n} = 2^{11 - 3 n}$ ，则当 $T_{n}$ 最大时，正整数 $n =$ ．

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15. 已知 $a > b > 0$ ，且 $a ， b ， - 2$ 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 $a + b =$ .

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16. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{a_{n + 2}}{a_{n + 1}} - \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = k$ (k为常数)，则称 ${a_{n}}$ 为等比差数列， $k$ 叫做公比差.已知 ${a_{n}}$ 是以2为公比差的等比差数列，其中 $a_{1} = 1 ， a_{2} = 2 ，$ ，则 $a_{5} =$ .

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = 5$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = a_{2}$ ， $b_{2} = a_{1} + a_{2} + a_{3}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 已知 ${a_{n}}$ 是公差为3的等差数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1, b_{2} = \frac{1}{3}$ $a_{n} b_{n + 1} = n b_{n}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 ${b_{n}}$ 的前n项和．

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19. 记等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{5} = 20$ ， $a_{2} = 3$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）若数列 ${b_{n}}$ 的通项公式 $b_{n} = 2^{n}$ ，将数列 ${a_{n}}$ 中与 ${b_{n}}$ 的相同项去掉，剩下的项依次构成新数列 ${c_{n}}$ ，设数列 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{2020}$ .

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20. “绿水青山，就是金山银山.”从社会效益和经济效益出发，某市准备投入资金进行生态环境建设，促进旅游业的发展.计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同. 设本年度为第一年，已知前三年旅游业总收入为1525万元.
（Ⅰ）设第n年的投入为a_n万元，旅游业收入为b_n万元，写出a_n ， b_n的表达式；

（Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

（参考数据：lg2 »0.301，lg3» 0.477）

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} = 5 ， n S_{n + 1} - (n + 1) S_{n} = n^{2} + n$ .
(I)求证：数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为等差数列；
(II)令 $b_{n} = 2^{n} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} / 2 + 3 n / 2.$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{n + 2} - a_{n} + \frac{1}{a_{n + 2} \cdot a_{n}}$ ，且数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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高中数学人教A版（2019） 选修二 第四章 数列

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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