辽宁省葫芦岛市协作校2021-2022学年高一上学期数学第二次考试试卷

试卷更新日期：2021-12-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 3 \leq x \leq 5}$ ， $B = {x | 0 \leq x \leq 7}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[0 ， 5]$ B、 $[- 3 ， 7]$ C、 $[- 3 ， 5]$ D、 $[5 ， 7]$

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2. 命题“ $\forall x \in R$ ， $3 x^{2} - 2 x - 3 > 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in R$ ， $3 x^{2} - 2 x - 3 \leq 0$ B、 $\forall x \notin R$ ， $3 x^{2} - 2 x - 3 \leq 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $3 x^{2} - 2 x - 3 \leq 0$ D、 $\exists x \notin R$ ， $3 x^{2} - 2 x - 3 \leq 0$

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3. 下列函数中与函数 $g (x) = l o g_{5} x$ 定义域相同的是（）

A、 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ B、 $f (x) = e^{x}$ C、 $f (x) = \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$

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4. 在 $△ A B C$ 中，“ $A B = A C = B C$ ”是“ $△ A B C$ 是等腰三角形”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $f (x)$ 是偶函数，且在 $[0 ， + ∞)$ 上单调递减，则 $f (x)$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $a = 2^{- 0.2}$ ， $b = l n 3$ ， $c = l o g_{0.2} 3$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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7. 若命题“ $\forall x \in R ， a x^{2} - 2 a x + 12 > 0$ ”是真命题，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 4)$ B、 $[0 ， 4)$ C、 $(0 ， 12)$ D、 $[0 ， 12)$

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8. 数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为 $a ， b ， c$ ，三角形的面积 $S$ 可由公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ 求得，其中 $p$ 为三角形周长的一半，与古希腊数学家海伦公式完全一致，所以这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的周长为12， $a = 4$ ，则此三角形面积的最大值为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{5}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} x - x + 2$ ，在下列区间中，一定包含 $f (x)$ 零点的区间是（）

A、 $[\frac{1}{4} ， 1)$ B、 $[1 ， 2)$ C、 $[3 ， 4)$ D、 $[4 ， 5)$

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10. 下列函数中最小值为1的是（）

A、 $y = 2 x$ ， $x \in [\frac{1}{2} ， 4]$ B、 $y = \sqrt{x + 1}$ C、 $y = (x + \frac{1}{x}) (4 x + \frac{1}{x}) - 8$ D、 $y = l g x + 1$

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11. 某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（）

A、同时参加跑步和篮球比赛的人数为24 B、只参加跑步比赛的人数为26 C、只参加拔河比赛的人数为16 D、只参加篮球比赛的人数为22

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12. 已知函数 $f (\sqrt{x} - 1) = 2 x + \sqrt{x} - 3$ ，则（）

A、 $f (1) = 7$ B、 $f (x) = 2 x^{2} + 5 x$ C、 $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{25}{8}$ D、 $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴只有1个交点

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三、填空题

13. 已知 $f (x)$ 是奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = l o g_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），则 $f (- 1) =$ .

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14. 已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，若 $f (x)$ 在 $[m ， m + 1]$ 上单调递增，则 $m$ 的取值范围为.

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15. 若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 9 a x + 4 a^{2} < 0 (a \neq 0)$ 的解集为 $(x_{1} ， x_{2})$ ，则 $x_{1} \cdot x_{2} + \frac{1}{a (x_{1} + x_{2})}$ 的最小值是.

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16. 记 $m i n {x ， y ， z}$ 表示 $x ， y ， z$ 中的最小值，设函数 $f (x) = m i n {x ， x^{2} - 4 x + 4 ， - 2 x + 12}$ ，则 $f (x)$ 的最大值为， $f (x) \geq 1$ 的解集为.

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四、解答题

17. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 4 ， 6 ， 8}$ ，集合 $A = {x \in N_{+} | \frac{4}{x} \in N_{+}}$ ， $B = {x | x = 2 a ， a \in A}$ .

(1)、求 $A ∪ B$ ；

(2)、写出 $∁_{U} (A \cap B)$ 的所有非空真子集.

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18. 求值：

(1)、 ${(5 \frac{19}{25})}^{0.5} + 2 . 5^{- 2} + {(\sqrt{7} - 1)}^{0} - {(\frac{8}{5})}^{2}$ ；

(2)、 $(l o g_{3} 4 + l o g_{9} 2) \cdot (l o g_{2} 9 - l o g_{2} 3)$ .

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19. 某种产品的成本是50元/件，试销阶段每件产品的售价 $x$ （单位：元）与产品的日销售量 $y$ （单位：件）之间有如下表所示的关系：
$x$ /元
60
70
80
90
$y$ /件
80
60
40
20

(1)、根据以上表格中的数据判断 $y = k x + b$ 是否适合作为 $y$ 与 $x$ 的函数模型，并说明理由；

(2)、当每件产品的售价为多少时日利润（单位：元）最大，并求最大值.

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20. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m}$ ，且 $f (x) = f (- x)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在① $(0 ， + ∞)$ ， ② $(- ∞ ， 0)$ 这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
问题：已知函数 $g (x)$ 在 $R$ 上单调递增，且 $g (0) = 0$ ， $h (x) = f (x) + | g (x) | + 2$ ，判断 $h (x)$ 在 ▲ 上的单调性，并用定义法证明.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.

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21. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 4 x + 2 ， x \geq 0 ， \\ 2^{x} + 1 ， x < 0 . \end{array}$

(1)、求 $f (x)$ 的值域；

(2)、讨论函数 $g (x) = f (x) - k$ 零点的个数.

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22. 已知函数 $f (x)$ 满足 $2 f (x) - f (- x) = 3 l n \frac{x + 1}{x - 1}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x + \frac{1}{x} + 6) + f (- x^{2} - \frac{1}{x^{2}} - \sqrt{a}) \geq 0$ 对 $x \in (1 ， + \infty)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围，

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$x$ /元	60	70	80	90
$y$ /件	80	60	40	20