天津市河北区2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 的一个方向向量是（）．

A、 $(1 ， - 2)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， - 1)$ D、 $(2 ， 1)$

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2. 已知圆的方程为 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y + 1 = 0$ ，那么圆心坐标和半径分别为（）

A、 $(- 1 ， - 3)$ ，9 B、 $(1 ， - 3)$ ，3 C、 $(- 1 ， 3)$ ，3 D、 $(1 ， 3)$ ，9

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3. 如图所示，在平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，若 $\vec{A_{1} B_{1}} = \vec{a} ， \vec{A_{1} D_{1}} = \vec{b} ， \vec{A_{1} A} = \vec{c} ，$ ，则下列向量中与 $\vec{A_{1} C}$ 相等的向量是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) - \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$

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4. 空间两点A，B的坐标分别为(a，b，c)，(-a，-b，c)，则A，B两点的位置关系是（）

A、关于x轴对称 B、关于y轴对称 C、关于z轴对称 D、关于原点对称

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5. △ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3），则边BC上的高所在直线的方程为（）

A、5x＋y﹣20＝0 B、3x＋2y﹣12＝0 C、3x＋2y﹣19＝0 D、3x﹣2y﹣12＝0

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6. 已知两条直线l₁：x＋2y﹣4＝0，l₂：2x＋4y＋7＝0，则直线l₁与直线l₂间的距离为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{10}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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7. 直线y=x与圆x²+(y+3)²=4的位置关系是（）

A、相离 B、相切 C、相交且直线过圆心 D、相交但直线不过圆心

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8. 已知直线 $a x + 2 y = 0$ 与直线 $x + (a + 1) y + 4 = 0$ 平行，则实数 $a$ 的值是（）

A、1 B、-2 C、1或-2 D、不存在

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9. 下列四个命题中，正确命题的个数是（）
①若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得 $\vec{p} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$ ；

②若两条不同直线l，m的方向向量分别是 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，则l∥m $\Leftrightarrow$ $\vec{a} // \vec{b}$ ；

③若 ${\vec{O A} ， \vec{O B} ， \vec{O C}}$ 是空间的一个基底，且 $\vec{O D} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$ ，则A，B，C，D四点共面；

④若两个不同平面α，β的法向量分别是 $\vec{u} ， \vec{v}$ ，且 $\vec{u} = (1 ， 2 ， - 2)$ ， $\vec{v} = (- 2 ， - 4 ， 4)$ ，则α∥β．

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AB＝2，以B为原点，分别以 $\vec{B C} ， \vec{B A} ， \vec{A F}$ 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的一个法向量分别为 $\vec{m} ， \vec{n}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、点P的坐标为（0，0，2） B、 $\vec{P C} = (4 ， 0 ， - 2)$ C、 $\cos 〈 \vec{m} ， \vec{n} 〉 > 0$ D、 $\vec{n} = (0 ， - 2 ， 2)$

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二、填空题

11. 直线 $\sqrt{3} x - y + 1 = 0$ 的倾斜角为．

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12. 在长方体OABC﹣O₁A₁B₁C₁中，OA＝2，OC＝2，OO₁＝1，以O为原点，OA，OC，OO₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点B₁的坐标为．

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13. 直线l：3x﹣y﹣6＝0被圆C： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ 截得的弦AB的长是．

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14. 希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（4，0），点P满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = \frac{1}{2}$ ，则点P所构成的曲线C的方程为．

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15. 已知空间向量 $\vec{a}$ ＝（1，0，1）， $\vec{b}$ ＝（1，1，2），则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值为，向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为．

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三、解答题

16. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，且AB＝2AD＝2，PA＝2，∠PAB＝∠PAD＝60°．

(1)、求PC的长；

(2)、求异面直线PC与BD所成角的余弦值．

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17. 已知两圆C₁：x²＋y²﹣2x﹣6y﹣1＝0，C₂：x²＋y²﹣10x﹣12y＋45＝0．

(1)、求证：圆C₁和圆C₂相交；

(2)、求圆C₁和圆C₂的公共弦所在直线方程和公共弦长．

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18. 如图，正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E为BA₁的中点，F为CC₁的中点．

(1)、求证：EF∥平面ABCD；

(2)、求直线EF与平面ABB₁A₁所成角的正弦值；

(3)、求点B到平面A₁CD的距离．

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19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，△PCD是边长为2的等边三角形，底面ABCD是矩形，BC＝2 $\sqrt{2}$ ，M为BC的中点．

(1)、求证：AM⊥PM；

(2)、求平面AMP与平面AMD的夹角的大小；

(3)、求点D到平面AMP的距离．

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