四川省眉山市仁寿县四校联考2021-2022学年高二上学期数学期中试试卷

试卷更新日期：2021-12-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3} x - y - 1 = 0$ 的倾斜角大小（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 圆 $C_{1} ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} + 2 y - 3 = 0$ 的位置关系为（）

A、相离 B、相交 C、外切 D、内切

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3. 倾斜角为 $135^{\circ}$ ，在 $y$ 轴上的截距为 $- 1$ 的直线方程是（）

A、 $x - y + 1 = 0$ B、 $x - y - 1 = 0$ C、 $x + y - 1 = 0$ D、 $x + y + 1 = 0$

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4. 已知 $m ， n$ 为两条不同的直线， $α ， β$ 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A、 $m \subset α ， n \subset α ， m / / β ， n / / β \Rightarrow α / / β$ B、 $α / / β ， m / / α ， n \subset β \Rightarrow m / / n$ C、 $m ⊥ α ， m ⊥ n \Rightarrow n / / α$ D、 $n / / m ， n ⊥ α \Rightarrow m ⊥ α$

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5. 一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为（）

A、27π B、18π C、9π D、54π

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6. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（）

A、 $24 + (\sqrt{5} - 1) π$ B、 $24 + (2 \sqrt{5} - 1) π$ C、 $24 + (\sqrt{5} - \frac{1}{2}) π$ D、 $24 - π$

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7. 若实数x ， y满足不等式组 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y + 1 \leq 0 \\ x - 1 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = x - 2 y$ 的最小值是（）

A、-3 B、-2 C、-1 D、0

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8. 设a ， b是两条不同的直线， $α ， β$ 是两个不同的平面.有下列四个命题：
①若 $α \cap β = a ， b / / a$ ，则 $b / / α$ 且 $b / / β$ ；

②若 $α ⊥ β ， a \subset α ， b \subset β ， a ⊥ b$ ，则 $a ⊥ β$ ；

③若 $a ⊥ b ， a ⊥ α ， b ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ ；

④若 $a ⊥ β ， α ⊥ β$ ，则 $a / / α$

其中正确的命题有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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9. 若直线 $y = k x + 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + k x - 2 y = 0$ 的两个交点恰好关于 $y$ 轴对称，则 $k =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C ， E ， F$ 分别是 $A B_{1} ， B C_{1}$ 的中点.有下列结论：

① $E F$ 与 $B B_{1}$ 垂直；

② $E F ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

③ $E F$ 与 $C_{1} D$ 所成的角为45°；

④ $E F / /$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ .

其中不成立的是（）

A、②③ B、①④ C、③ D、①②③

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11. 设 $A$ 为圆 $C ： {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 上的动点， $P A$ 是圆的切线，且 $| P A | = 1$ ，则 $P$ 点的轨迹方程为（）

A、 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 25$ B、 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 5$ C、 $x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 25$ D、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 5$

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12. 曲线 $y = 1 + \sqrt{4 - x^{2}}$ 与直线 $y = k (x - 2) + 4$ 有两个不同交点，实数 $k$ 的取值范围是（　　）

A、 $k \geq \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{4} \leq k < - \frac{5}{12}$ C、 $k > \frac{5}{12}$ D、 $\frac{5}{12} < k \leq \frac{3}{4}$

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二、填空题

13. 圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0$ 与直线 $2 t x - y - 1 - 4 t = 0 (t \in R)$ 的位置关系为.

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14. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \geq 4 \\ x - y \geq 0 \\ x \leq 4 \end{array}$ ，则 $\sqrt{{(x + 1)}^{2} + y^{2}}$ 的最小值为.

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15. 已知点 $P$ 为圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 7 = 0$ 上一点，且点 $P$ 到直线 $x - y + m = 0$ 的距离的最小值为 $\sqrt{2} - 1$ ，则 $m$ 的值为 .

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16. 在正三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $P B = \sqrt{5}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为.

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三、解答题

17. 已知两条直线 $l_{1} ： (a - 1) x + 2 y + 1 = 0 ， l_{2} ： x + a y + 3 = 0$ ．

(1)、若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $l_{2} ⊥ l_{1}$ ，求实数 $a$ 的值．

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18. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，S是B₁D₁的中点，E ， F ， G分别是BC ， CD ， SC的中点，求证：

(1)、EG∥平面BDD₁B₁；

(2)、平面EFG∥平面BDD₁B₁.

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $PA ⊥ AB$ ， $PA ⊥ BC$ ， $AB ⊥ B C$ ， $PA = AB = BC = 2$ ， $D$ 为线段 $A C$ 的中点， $E$ 为线段 $P C$ 上一点．

(1)、求证：平面 $B D E ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、当 $P A / /$ 面 $B D E$ 时，求三棱锥 $E - B C D$ 的体积．

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20. 已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.

(1)、求圆M的方程；

(2)、设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D$ 是正三角形，且与底面 $A B C D$ 垂直，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ B A D = 60^{°}$ ， $N$ 是 $P B$ 的中点，过 $A$ 、 $D$ 、 $N$ 三点的平面交 $P C$ 于 $M ， E$ 为 $A D$ 的中点，求证：

(1)、 $B C ⊥$ 平面 $P E B$ ；

(2)、平面 $P B C ⊥$ 平面 $A D M N$ ；

(3)、求多面体 $A B N D M C$ 的体积.

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22. 已知：以点 $C (t ， \frac{2}{t}) (t \in R ， t \neq 0)$ 为圆心的圆与 $x$ 轴交于点 $O ， A$ ，与 $y$ 轴交于点 $O ， B$ ，其中 $O$ 为原点.

(1)、求证： $Δ O A B$ 的面积为定值.

(2)、设直线 $y = - 2 x + 4$ 与圆 $C$ 交于点 $M ， N$ ，若 $O M = O N$ ，求：圆 $C$ 的方程

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