陕西省咸阳市泾阳县2021-2022学年高二上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 2与8的等差中项是（）

A、-5 B、4 C、4 D、 $\pm 4$

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2. 若 $m = 3 x^{2} - x + 1$ ， $n = 2 x^{2} + x - 1$ ，则 $m$ 与 $n$ 的大小关系是（）

A、 $m > n$ B、 $m \geq n$ C、 $m < n$ D、 $m \leq n$

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3. 已知非零实数a，b满足 $a > b$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $a b > 1$ C、 $a - b > 0$ D、 $a + b > 0$

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4. 在各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{5} = 3$ ，则 $\log_{3} a_{1} + \log_{3} a_{9} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、9

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5. 在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜．已知a克糖水中含有b克糖 $(a > b > 0)$ ，再添加m克糖（ $m > 0$ ，假设全部溶解），可将糖水变甜．这一事实表示为下列哪一个不等式？（）

A、 $\frac{b}{a} > \frac{b + m}{a + m}$ B、 $\frac{b}{a} < \frac{b + m}{a + m}$ C、 $\frac{a}{b} < \frac{b + m}{a + m}$ D、 $\frac{a}{b} < \frac{a + m}{b + m}$

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6. 在 $△ A B C$ 中， $a = \sqrt{3}$ ， $b = 3$ ， $A = \frac{π}{6}$ ，则此三角形（）

A、无解 B、一解 C、两解 D、解的个数不确定

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7. 在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做“等和数列”，这个数叫做数列的公和．已知等和数列{a_n}中， $a_{1} = 2$ ，公和为5，则 $a_{18} =$ （　　）

A、2 B、﹣2 C、3 D、﹣3

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8. 设 $x ， y \in R$ ，且 $x + 3 y = 2$ ，则 $3^{x} + 27^{y}$ 的最小值是（）

A、30 B、27 C、12 D、6

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9. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b \sin B + 2 c \sin C = a \sin A$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不确定

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10. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{n} = n (8 - n) (n = 1 ， 2 ， \dots)$ ，则（）

A、 ${a_{n}}$ 有最大项， ${S_{n}}$ 有最大项 B、 ${a_{n}}$ 有最大项， ${S_{n}}$ 有最小项 C、 ${a_{n}}$ 有最小项， ${S_{n}}$ 有最大项 D、 ${a_{n}}$ 有最小项， ${S_{n}}$ 有最小项

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11. 如图，为了测量山高 $M N$ ，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角为 $60 °$ ，C点的仰角为 $45 °$ 以及 $∠ M A C = 75 °$ ，从C点测得 $∠ M C A = 60 °$ ，已知山高 $B C = 500 m$ ，则山高 $M N$ 为（）

A、 $850 \sqrt{3} m$ B、 $850m$ C、 $750 \sqrt{3} m$ D、 $750m$

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12. 已知关于x的不等式 $a x^{2} - 2 x + 4 a < 0$ 在 $(0, 2]$ 上有解，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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二、填空题

13. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = - 2 ， a_{5} = 16$ ，则该数列的公比为．

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14. 我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块共有9圈，则第六圈的石板块数是．

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15. 若关于x的不等式 $a x^{2} + a x - 4 < 0$ 的解集为R，则实数a的取值范围为．

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16. 已知 $x \geq 1$ ，则下列函数中，最小值为2的函数有个．
① $y = \frac{2}{x} + \frac{x}{2}$ ；② $y = 4 x + \frac{1}{x}$ ；③ $y = - x^{2} + 2 x + 1$ ；④ $y = x + \frac{4}{x + 1} - 1$ ．

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三、解答题

17. 解下列不等式．

(1)、 $- 2 x^{2} + 5 x + 7 \geq 0$ ；

(2)、 $\frac{2}{x + 1} > 3$ ．

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18. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，已知 $a_{1} = - 7 ， S_{3} = - 15$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ 的最小值．

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19. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\sqrt{3} b \cos C = c \sin B$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $b = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $c$ .

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20. 已知 $x > 0, y > 0$ ，且 $x + 4 y = 40$ .

(1)、求 $x y$ 的最大值；

(2)、求 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ 且 $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 1$ .

(1)、证明数列 ${a_{n} + \frac{1}{2}}$ 是等比数列；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{n + 1} - b_{n} = a_{n} + \frac{1}{2}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式.

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22. 杭州市为迎接2022年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料，工具和配件．所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），ED，DC，CB，BA，AE为赛道， $∠ B C D = ∠ B A E = \frac{2 π}{3} ， ∠ C B D = \frac{π}{4} ， C D = 2 \sqrt{6} km ， D E = 8 km$ ．

(1)、从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；
① $∠ C D E = \frac{7 π}{12}$ ；② $\cos ∠ D B E = \frac{3}{5}$

(2)、在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长（即 $B A + A E$ 最大），最长值为多少？

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