福建省南平市浦城县2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线x=2与直线x-y+2=0的夹角是（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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2. 给出下列命题
①空间中所有的单位向量都相等；

②方向相反的两个向量是相反向量；

③若 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | > | \vec{b} |$ ，且 $\vec{a} ， \vec{b}$ 同向，则 $\vec{a} > \vec{b}$ ；

④零向量的方向是任意的；

⑤对于任意向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，必有 $| \vec{a} + \vec{b} | \leq | \vec{a} | + | \vec{b} |$ ．

其中正确命题的序号为（）

A、①②③ B、⑤ C、④⑤ D、①⑤

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3. 已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（）

A、 $(- \frac{9}{7} ， \frac{4}{7})$ B、 $(\frac{54}{7} ， \frac{13}{7})$ C、 $(\frac{38}{3} ， \frac{13}{3})$ D、 $(\frac{38}{7} ， \frac{5}{7})$

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4. 若直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 的方向向量分别为 $\vec{a} = (1 ， 2 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 3 ， 2)$ ，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的位置关系是（）

A、 $l_{1} ⊥ l_{2}$ B、 $l_{1} / / l_{2}$ C、 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 相交不垂直 D、不能确定

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5. 过 A（4，y）， $B (2 ， - 3)$ 两点的直线的一个方向向量为 $\vec{n} = (- 1 ， - 1)$ 则 $y =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、-1 D、1

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6. 若直线l的方程为x-ysinθ+2=0，则直线l的倾角 $α$ 的范围是（）

A、[0， $π$ ] B、[ $\frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{2}$ ] C、[ $\frac{π}{4}$ ， $\frac{3 π}{4}$ ] D、[ $\frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{2}$ ）∪（ $\frac{π}{2}$ ， $\frac{3 π}{4}$ ）

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7. 已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且 $\overset{⇀}{P A} = \frac{4}{3} \overset{⇀}{P B} - x \overset{⇀}{P C} + \frac{1}{6} \overset{⇀}{D B}$ ，则实数x的值为（　　）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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8. 已知点 $F$ 为抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点， $M (- 1 ， 0)$ ，点 $N$ 为抛物线上一动点，当 $\frac{| N F |}{| N M |}$ 最小时，点 $N$ 恰好在以 $M$ ， $F$ 为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为（）

A、 $3 + 2 \sqrt{3}$ B、 $2 + 2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2} - 1}{4}$

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二、多选题

9. 已知圆心为 $C$ 的圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 11 = 0$ 与点 $A (0 ， - 5)$ ，则（）

A、圆 $C$ 的半径为2 B、点 $A$ 在圆 $C$ 外 C、点 $A$ 与圆 $C$ 上任一点距离的最大值为 $3 \sqrt{2}$ D、点 $A$ 与圆 $C$ 上任一点距离的最小值为 $\sqrt{2}$

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10. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（）．

A、 ${\vec{a}}^{2} = | \vec{a} |^{2}$ B、 $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{{\vec{a}}^{2}} = \frac{\vec{b}}{\vec{a}}$ C、 ${(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} \cdot {\vec{b}}^{2}$ D、 ${(\vec{a} - \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$

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11. 过M（1，1）作斜率为2的直线与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 相交于A、B两点，若M是AB的中点，则下列表述正确的是（）

A、b<a B、渐近线方程为y=±2x C、离心率 $e = \sqrt{3}$ D、b>a

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12. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 满足 $\vec{D P} = λ \vec{D D_{1}} + μ \vec{D A}$ ， $λ \in [0 ， 1]$ ， $μ \in [0 ， 1]$ ，则以下说法正确的是（）

A、当 $λ = μ$ 时， $B P //$ 平面 $C B_{1} D_{1}$ B、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时，存在唯一点 $P$ 使得 $D P$ 与直线 $C B_{1}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ C、当 $λ + μ = 1$ 时，CP长度的最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、当 $λ + μ = 1$ 时，CP与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成的角不可能为 $\frac{π}{3}$

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三、填空题

13. 已知 $A (- m - 3 ， 2) ， B (- 2 m - 4 ， 4) ， C (- m ， m) ， D (3 ， 3 m + 2)$ ，若直线 $A B ⊥ C D$ ，则m的值为．

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14. 抛物线C：y²=4 $x$ ，直线 $l$ 绕 $P (- 2 ， 1)$ 旋转，若直线 $l$ 与抛物线C有两个交点．则直线 $l$ 的斜率k的取值范围是

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15. 已知点P在抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 上，直线PA，PB与圆 $Q ： x^{2} + {(y - 3)}^{2} = m (m > 0)$ 相切于点A，B，且PA⊥PB，若满足条件的P点有四个，则m的取值范围是．

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16. 已知圆C的方程为 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，点E的坐标为 $(2 ， 0)$ ，则 $| C E | =$ ；直线l： $y = 2 x + 1$ ，则C到直线l的距离为．

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的顶点坐标为 $A (- 1 ， 5) ， B (- 2 ， - 1) ， C (4 ， 2)$ ．

(1)、点 $M$ 是 $B C$ 边的中点，求直线 $B C$ 及直线 $A M$ 的方程；

(2)、直线 $A H$ 垂直 $B C$ 边于点 $H$ ，求直线 $A H$ 的方程及 $H$ 点坐标．

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18. 已知圆 $C$ 过两点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 4)$ ，且圆心在直线 $2 x - y - 4 = 0$ 上．

(1)、求该圆 $C$ 的方程；

(2)、求过点 $P (3 ， 1)$ 的直线被圆 $C$ 截得弦长最小时的直线 $l$ 的方程．

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19. 在如图所示的六面体 $A B C D E F$ 中，矩形 $A D E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = A D = A F = 1$ ， $C D = 2$ ， $C D ⊥ A D$ ， $A B // C D$ ．

(1)、设 $H$ 为 $C F$ 中点，证明： $B H //$ 平面 $A D E F$ ；

(2)、求平面BCF与平面ABC夹角余弦值．

(3)、求D点到平面BCF的距离．

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20. 已知动圆 $P$ 过点 $F (0 ， 8)$ 且与直线 $y = - 8$ 相切，圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若 $A$ ， $B$ 是曲线 $C$ 上的两个点且直线 $A B$ 过 $△ A O B$ 的外心，其中 $O$ 为坐标原点，求证：直线 $A B$ 过定点．

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21. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别为 $A B$ ， $A C$ 的中点， $O$ 为 $D E$ 的中点， $A B = A C = 2 \sqrt{5}$ ， $B C = 4$ .将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使得平面 $A_{1} D E ⊥$ 平面 $B C E D$ ，如图2.

(1)、求证： $A_{1} O ⊥ B D$ .

(2)、求直线 $A_{1} C$ 和平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值.

(3)、线段 $A_{1} C$ 上是否存在点 $F$ ，使得直线 $D F$ 和 $B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{35}}{7}$ ？若存在，求出 $\frac{A_{1} F}{A_{1} C}$ 的值；若不存在，说明理由.

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22. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左､右顶点分别为 $A ､ B$ ，曲线 $C$ 是以 $A$ 、 $B$ 为短轴的两端点且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的椭圆，设点 $P$ 在第一象限且在双曲线上，直线 $A P$ 与椭圆相交于另一点 $T$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、设点 $P ､ T$ 的横坐标分别为 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $x_{1} x_{2} = 1$ ；

(3)、设 $△ T A B$ 与 $△ P O B$ (其中 $O$ 为坐标原点)的面积分别为 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ ，且 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} ⩽ 10$ ，求 $S_{1}^{2} - S_{2}^{2}$ 的取值范围.

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