湖南省株洲市荷塘区2020-2021学年九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-12-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 对于函数 $y = \frac{6}{x}$ ，下列说法错误的是（）

A、当 $x > 0$ 时， $y$ 的值随 $x$ 的增大而增大 B、当 $x < 0$ 时， $y$ 的值随 $x$ 的增大而减小 C、它的图象分布在第一、三象限 D、它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形

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2. a、b是实数，点A（2，a）、B（3，b）在反比例函数y=﹣ $\frac{2}{x}$ 的图象上，则（）

A、a＜b＜0 B、b＜a＜0 C、a＜0＜b D、b＜0＜a

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3. 将二次函数y＝(x+1)²－2的图象沿x轴向右平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）

A、y＝(x+3)²－2 B、y＝(x+3)²＋2 C、y＝(x-1)²＋2 D、y＝(x-1)²－2

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4. 一元二次方程x²+4x﹣3=0的两根为x₁、x₂ ，则x₁•x₂的值是（）

A、4 B、﹣4 C、3 D、﹣3

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5. 王叔叔从市场上买了一块长80 cm，宽70 cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱.如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000 cm²的无盖长方体工具箱.根据题意可列方程为（）

A、(80-x)(70-x)=3000 B、80×70-4x²=3000 C、(80-2x)(70-2x)=3000 D、80×70-4x²-(70+80)x=3000

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6. 如图，从点C观测点D的仰角是（）

A、∠DAB B、∠DCE C、∠DCA D、∠ADC

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7. 在平面直角坐标系中，点 $A$ ， $B$ 的坐标分别是 $A (4 ， 2)$ ， $B (5 ， 0)$ ，以点 $O$ 为位似中心，相似比为 $\frac{1}{2}$ ，把 $△ A B O$ 缩小，得到 $△ A_{1} B_{1} O$ ，则点 $A$ 的对应点 $A_{1}$ 的坐标为（）

A、 $(1 ， 2)$ 或 $(- 1 ， - 2)$ B、 $(2 ， 1)$ 或 $(- 2 ， - 1)$ C、 $(\frac{5}{2} ， 0)$ 或 $(- \frac{5}{2} ， 0)$ D、 $(0 ， \frac{5}{2})$ 或 $(0 ， - \frac{5}{2})$

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8. 已知 $△ A B C$ $∽$ $△ D E F$ ， $A B = 8 ， D E = 6$ ，则 $\frac{B C}{E F}$ =（）

A、2 B、 $\frac{4}{3}$ C、3 D、 $\frac{16}{9}$

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9. 如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为 $α$ 的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（）

A、 $300 s i n α$ 米 B、 $300 c o s α$ 米 C、 $300 t a n α$ 米 D、 $\frac{300}{t a n α}$ 米

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10. 已知二次函数y＝ax²+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b²﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的是（）

A、①② B、①④ C、②③ D、②④

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二、填空题

11. 已知函数 $y = (m - 1) x^{m^{2} - 2}$ 是反比例函数，则m的值为．

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12. 如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为

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13. 若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是.

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14. 抛物线 $y = x^{2} + 4 x + 8$ 的顶点坐标是.

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15. 为从甲、乙、丙三名射击运动员中选一人参加全运会，教练把他们的10次比赛成绩做了统计：平均成绩均为9.3环，方差分别是 $S_{甲}^{2} = 1.22$ ， $S_{乙}^{2} = 1.68$ ， $S_{丙}^{2} = 0.44$ ，应该选参加全运会.

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16. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是.（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）

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17. a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x²﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是bc（用“＞”或“＜”号填空）

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18. 对于3个数： $a ， b ， c$ ，用 $M {a ， b ， c}$ 表示这三个数的中位数，用 $m a x {a ， b ， c}$ 表示这三个数的最大数.例如： $M {- 2 ， - 1 ， 0} = - 1 ， m a x {- 2 ， - 1 ， 0} = 0 ， m a x {- 2 ， - 1 ， a} = {\begin{array}{l} a ， a \geq - 1 \\ - 1 ， a < - 1 \end{array}$ .如果 $M {9 ， x^{2} ， 3 x - 2} = m a x {9 ， x^{2} ， 3 x - 2}$ ，则 $x$ =.

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三、解答题

19. 计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 1} + {(\sqrt{8} - 1)}^{0} + 2 sin 45 ° + | \sqrt{2} - 2 |$ ．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $E$ 在边 $B C$ 上，满足 $∠ D E F = ∠ B$ ，且点 $D$ ， $F$ 分别在边 $A B$ ， $A C$ 上. 求证： $△ B D E$ $∽$ $△ C E F$ .

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21. 在对某地区一次人口抽样统计中，各年龄段的人数如表所示（年龄为整数）.请根据此表回答下列问题：
年龄
0～9
10～19
20～29
30～39
40～49
50～59
60～69
70～79
80～89
人数
9
11
17
18
17
12
8
6
2

(1)、这次抽样的样本容量是；

(2)、在这个样本中，年龄的中位数位于哪个年龄段内；

(3)、在这个样本中，年龄在60岁以上（含60岁）的频率是；

(4)、如果该地区有人口80 000，为关注人口老龄化问题，请估算该地区60岁以上（含60岁）的人口数.

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22. 如图，某船由西向东航行，在点A测得小岛O在北偏东60°，船航行了10海里后到达点B，这时测得小岛O在北偏东45°，船继续航行到点C时，测得小岛O恰好在船的正北方，求此时船到小岛的距离.

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23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象交于点 $A (3 ， 1)$ ，且过点 $B (0 ， - 2)$ .

(1)、求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)、如果点 $P$ 是 $x$ 轴上一点，且 $△ A B P$ 的面积是3，求点 $P$ 的坐标.

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24. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + k^{2} + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1} ， x_{2}$ .

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、若 $x_{1} + x_{2} = 3$ ，求 $k$ 的值及方程的根.

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25. 攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．

销售量y（千克）	…	32.5	35	35.5	38	…
售价x（元/千克）	…	27.5	25	24.5	22	…

(1)、某天这种芒果售价为28元/千克．求当天该芒果的销售量

(2)、设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式．如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？

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26. 如图，抛物线 $y = a (x - 1) (x - 3) (a > 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，抛物线上另有一点 $C$ 在 $x$ 轴下方，且使△OCA $∽$ △OBC.

(1)、求线段 $O C$ 的长度；

(2)、设直线 $B C$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ，当 $O C$ 平分 $△ B O M$ 的面积时，求抛物线的解析式；

(3)、在（2）的条件下，直线 $B C$ 下方抛物线上是否存在一点 $P$ ，使得四边形 $A B P C$ 的面积最大？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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年龄	0～9	10～19	20～29	30～39	40～49	50～59	60～69	70～79	80～89
人数	9	11	17	18	17	12	8	6	2