湖南省邵阳市新邵县2020-2021学年九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-12-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知点 $A (- 1 ， 2)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，则该函数表达式为（）

A、 $y = \frac{2}{x}$ B、 $y = - \frac{2}{x}$ C、 $y = \frac{1}{2 x}$ D、 $y = - \frac{1}{2 x}$

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2. 如图，小红同学测量一棵与地面垂直的树 $O A$ 的高度时，在距离树的底端 $30$ 米的 $B$ 处，测得树顶 $A$ 的仰角 $∠ A B O = 2 0^{°}$ ，借助计算器计算树 $O A$ 的高度，下列按键顺序正确的是（）

A、 $30 \div s i n 20 =$ B、 $30 \times s i n 20 =$ C、 $30 \times t a n 20 =$ D、 $30 \div c o s 20 =$

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3. 用求根公式法解方程 $x^{2} - 2 x - 5 = 0$ 的解是（）

A、 $x_{1} = 1 + \sqrt{6} ， x_{2} = 1 - \sqrt{6}$ B、 $x_{1} = 2 + \sqrt{6} ， x_{2} = 2 - \sqrt{6}$ C、 $x_{1} = 1 + \sqrt{5} ， x_{2} = 1 - \sqrt{5}$ D、 $x_{1} = 2 + \sqrt{5} ， x_{2} = 2 - \sqrt{5}$

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4. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $D C$ 上， $E C ： D E = 1 ： 3$ ，连接 $A E$ 交 $B D$ 于点 $F$ ，则 $Δ D E F$ 的面积与 $Δ B A F$ 的面积之比为（）

A、 $1 ： 3$ B、 $1 ： 9$ C、 $3 ： 4$ D、 $9 ： 16$

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5. 对于二次函数 $y = 2 {(x - 1)}^{2} + 2$ 的图象，下列说法正确的是（）

A、开口向下； B、对称轴是直线x＝－1； C、顶点坐标是（－1，2）； D、与x轴没有交点．

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6. 如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为（）

A、2 B、2 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ＋1 D、 $\sqrt{3}$ ＋1

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7. 从总体中抽取一部分数据作为样本去估计总体的某种属性，下面叙述正确的是（）

A、样本容量越大，样本平均数越大 B、样本容量越大，样本方差就越小 C、样本容量越小，样本平均数和方差越大 D、样本容量越大，对总体的估计就越准确

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8. 如图，以点 $O$ 为位似中心，把 $Δ A B C$ 放大为原图形的2倍得到 $Δ A B C$ ，若 $Δ A B C$ 与 $Δ A B C$ 的位似比为 $k$ ，则以下结论中正确的是（）

A、 $k = 2$ B、 $k = - 2$ C、 $k = \frac{1}{2}$ D、 $k = - \frac{1}{2}$

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9. 如图，在边长为9cm的等边三角形ABC中，D为BC上一点，且BD=3cm，E在AC上，∠ADE=60°，则AE的长为（）

A、2cm B、5cm C、6cm D、7cm

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10. (古代数学问题)直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.——摘自古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》译文：一块矩形田地的面积为 $864$ 平方步，只知道它的长与宽共 $60$ 步，则它的长比宽多（）

A、6 B、12 C、24 D、36

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二、填空题

11. 一元二次方程 $x^{2} + x - k = 0$ 有一根为 $- 2$ ，则另一个根为.

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12. 如图，点 $P$ 在 $Δ A B C$ 的边 $A C$ 上，要判断 $Δ A B P ∼ Δ A C B$ ，还请你添加一个条件：.

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13. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{1}{3} (b + d + f \neq 0)$ ，则 $\frac{a + c - 2 e}{b + d - 2 f} =$ .

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14. 已知直线 $y = m x (m \neq 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象的一个交点坐标为 $(3 ， 4)$ ，则它们的另一个交点坐标为.

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15. 已知 $∠ A ， ∠ B ， ∠ C$ 是 $Δ A B C$ 的三个内角，若 $| s i n A - \frac{\sqrt{3}}{2} | + {(c o s B - \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} = 0$ ，且 $∠ A ， ∠ B$ 均为锐角，则 $∠ C$ 的度数为.

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16. 某校中学生开展社会实践活动，同学们在某小区随机调查了部分家庭一周内使用环保方便袋的数量，整理后制作了如图所示的统计图，请你根据统计图估计该小区每户一周内使用环保方便袋个.

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17. 如图，对于一条给定的线段 $A B = 2$ ，找出它的黄金分割点的作法如下：
（1）过点 $B$ 作 $B D ⊥ A B$ ，并在垂线上取 $B D = \frac{1}{2} A B$ ；
（2）连接 $A D$ ，以点 $D$ 为圆心， $B D$ 长为半径画弧交 $A D$ 于点 $E$ ；
（3）以点 $A$ 为圆心， $A E$ 长为半径画弧交 $A B$ 于点 $C$ .
则点 $C$ 为线段 $A B$ 的黄金分割点， $A C$ 的长为.

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18. 如图，抛物线 $y = a x^{2}$ 与直线 $y = b x + c$ 的两个交点坐标分别为 $A (- 2 ， 4) ， B (1 ， 1)$ ，则关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - b x - c < 0$ 的解集为.

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三、解答题

19. 计算： $(\sqrt{2} - 1)^{0} - 2 t a n 4 5^{°} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} + (- 1)^{2020}$

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20. 已知关于x的一元二次方程x²﹣（2k﹣1）x+k²+1＝0有两个实数根x₁ ， x₂ ，

(1)、求k的取值范围.

(2)、若x₁x₂与x₁+x₂互为相反数，试求k的值.

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21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象经过点 $A (4 ， m)$ ，过点 $A$ 作 $A B ⊥ x$ 轴，垂足为点 $B$ 且 $Δ A B O$ 的面积为 $4$ .

(1)、求 $m$ 与 $k$ 的值；

(2)、若点 $C (x ， y)$ 也在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，求当 $- 3 \leq x \leq - 1$ 时，函数值 $y$ 的取值范围.

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22. 某校开展了“阅读战‘疫'读书强国”为主题的阅读活动，对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查，收集整理后，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据图①和图②提供的信息，解答下列问题：

(1)、在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？

(2)、请把折线统计图(图①)补充完整，并计算扇形统计图中体育类所对应圆心角的度数.

(3)、请你估计该校5000名学生中大约有多少人喜爱体育和艺术类书籍？

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23. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 平分 $∠ D A B ， A C^{2} = A B \cdot A D ， ∠ A D C = 9 0^{°}$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点.

(1)、求证： $Δ A D C ∼ Δ A C B$

(2)、若 $A D = 4 ， A B = 6$ ，求 $\frac{C F}{A F}$ 的值.

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24. 图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点 $A$ 处，手柄长 $A B = 20 c m ， A B$ 与墙壁 $A D$ 的夹角 $∠ α = 3 0^{°}$ ，喷出的水流 $B C$ 与 $A B$ 形成的夹角 $∠ A B C = 8 0^{°}$ ，现在住户要求：当人站在 $E$ 处淋浴时，水流正好喷洒在人体的 $C$ 处，且使 $D E = 50 c m ， C E = 150 c m$ .问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？
(结果精确到 $1 c m$ ，参考数据： $s i n 4 0^{°} \approx 0.64 ， c o s 4 0^{°} \approx 0.77 ， t a n 4 0^{°} \approx 0.84 ， \sqrt{3} \approx 1.73 ， \sqrt{2} \approx 1.41$ )

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25. 2020年春节期间，新型冠状病毒肆虐，突如其来的疫情让大多数人不能外出，网络销售成为这个时期最重要的一种销售方式.某乡镇贸易公司因此开设了一家网店，销售当地某种农产品.已知该农产品成本为每千克10元.调查发现，每天销售量 $y (k g)$ 与销售单价 $x$ (元)满足如图所示的函数关系(其中 $10 < x \leq 40$ ).

(1)、写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式.

(2)、当销售单价 $x$ 为多少元时，每天的销售利润可达到6000元？

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26. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A 、 B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ .连接 $A C 、 B C ， A 、 C$ 两点的坐标分别为 $A (- 1 ， 0) 、 C (0 ， \sqrt{3})$ ，且它的图象关于直线 $x = 1$ 对称

(1)、求抛物线的函数关系式；

(2)、若点 $M 、 N$ 同时从 $A$ 点出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿 $A B 、 A C$ 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动.当运动时间为 $t$ 秒时，连接 $M N$ ，将 $Δ A M N$ 沿 $M N$ 翻折， $A$ 点恰好落在 $B C$ 边上的 $P$ 处，求 $t$ 的值及点 $P$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点 $Q$ ，使得以 $A ， N ， Q$ 为顶点的三角形与 $Δ A B C$ 相似？如果存在，请求出点 $Q$ 的坐标；如果不存在，请说明理由.

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