湖南省邵阳市绥宁县2020-2021学年九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-12-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的两个解，则代数式 $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1)$ 的值为（）

A、8 B、10 C、12 D、14

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2. 如图，在 $5 \times 4$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 $1$ ， $Δ A B C$ 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则 $\sin ∠ B A C$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象上有A、B两点，它们的横坐标分别为2和4， $△ A B O$ 的面积为6，则 $k$ 的值为（）

A、4 B、8 C、10 D、12

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4. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A C = 2$ ， $B C = 4$ ， $D$ 为 $B C$ 边上的一点，且 $∠ C A D = ∠ B$ .若 $Δ A D C$ 的面积为 $a$ ，则 $Δ A B D$ 的面积为（）

A、 $2 a$ B、 $\frac{5}{2} a$ C、 $3 a$ D、 $\frac{7}{2} a$

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5. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D.若AOC=80°，则ADB的度数为（）

A、40° B、50° C、60° D、20°

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6. 抛物线y＝ax²+bx+c如图所示，下列结论中正确的有（）
①abc＞0 ②b²-4ac＜0 ③9a+3b+c＜0 ④(a+c)²＜b²⑤a+b＜m(am+b)（其中m是不等于1的实数）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（2，2）、B（3，1）、D（5，2），则点A的对应点C的坐标是（）

A、（2，3） B、（2，4） C、（3，3） D、（3，4）

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8. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标与纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点P（1，1）、（﹣2，﹣2）、（0.5，0.5）…，都是和谐点，若二次函数y＝ax²+7x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（﹣1，﹣1），则此二次函数的解析式为（）

A、y＝3x²+7x+3 B、y＝2x²+7x+4 C、y＝x²+7x+5 D、y＝4x²+7x+2

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9. 如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠ADC＝90°，点E沿着A→B→C的路径以2cm/s的速度匀速运动，到达点C停止运动，EF始终与直线AB保持垂直，与AD或DC交于点F，记线段EF的长度为dcm，d与时间t的关系图如图所示，则图中a的值为（）

A、7.5 B、7.8 C、9 D、9.6

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二、填空题

10. 已知点A（2，3）在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，当x>-2且x≠0时，则y的取值范围是.

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11. 已知一元二次方程x²-10x+21=0的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为．

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12. 如图，P（12，a）在反比例函数 $y = \frac{60}{x}$ 图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为.

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13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果CD＝4，那么AD•BD的值是.

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14. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给个人.

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15. ⊙O的半径为1，弦AB= $\sqrt{2}$ ，点C是圆上异于A、B的一动点，则∠ACB=.

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16. 如图，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为 $y = - \frac{1}{3} x^{2}$ ，当水面离桥顶的高度为 $\frac{25}{3}$ 米时，水面的宽度为米.

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17. 如图，正方形ABCB₁中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB₁交直线l于点A₁ ，作正方形A₁B₁C₁B₂ ，延长C₁B₂交直线l于点A₂ ，作正方形A₂B₂C₂B₃ ，延长C₂B₃交直线l于点A₃ ，作正方形A₃B₃C₃B₄ ， …，依此规律，则A₂₀₂₀A₂₀₂₁＝.

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三、解答题

18. 计算或解方程：

(1)、计算：（ $\sqrt{3}$ ﹣1）⁰+（﹣ $\frac{1}{3}$ ）^﹣¹﹣2cos30°+ $\sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{6}$ ；

(2)、解方程：7x（5x+2）＝6（5x+2）.

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19. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y= $\frac{m}{x}$ 图象的两个交点.

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)、求△AOB的面积；

(3)、观察图象，直接写出不等式kx+b﹣ $\frac{m}{x}$ ＞0的解集.

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20. 已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．

(1)、求证：直线AD是⊙O的切线；

(2)、若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．

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21. 某初级中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校部分学生的年龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图.
依据以上信息解答以下问题：

(1)、求样本容量，并补全条形统计图；

(2)、直接写出样本的平均数，众数和中位数；

(3)、若该校一共有1800名学生，估计该校年龄在15岁及以上的学生人数.

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22. 如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．

(1)、求灯杆CD的高度；

(2)、求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据： $\sqrt{3}$ =1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

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23. 某商店购进一批单价为30元的日用商品，如果以单价40元销售，那么每星期可售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.设销售单价为x（元）（x＞40）时，该商品每星期获得的利润y（元）.

(1)、求出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；

(2)、求出销售单价为多少元时，每星期获得的利润最大？最大利润是多少？

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24. 如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，tanB＝ $\frac{3}{4}$ ，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）.以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF.

(1)、求证：△ABD∽△DCE；

(2)、当AB∥DE时（如图2），求AE的长.（提示：过点A作AH⊥BC交BC于点H）

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25. 如图，抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.

(1)、求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

(2)、P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

(3)、点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.

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