湖南省娄底市新化县2020-2021学年九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-12-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 反比例函数 $y = - \frac{3}{x}$ 的比例系数是（）

A、－3 B、3 C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2. 下列方程中，是一元二次方程的是（）

A、 $2 x + 3 y - 5 = 0$ B、 $x^{2} + \frac{1}{x} = 1$ C、 $x^{2} - 1 = 0$ D、 $a x^{2} + b x + c = 0$

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3. 已知四个非零实数a，b，c，d成比例，即 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ，下列各式中不一定成立的是（）

A、 $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$ B、 $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ C、 $\frac{a - b}{b} = \frac{c - d}{d}$ D、 $\frac{a}{d} = \frac{b}{c}$

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4. 在平面直角坐标系内有一点 $P (4 ， 3)$ ，连接 $O P$ ，则 $O P$ 与x轴正方向所夹锐角 $α$ 的正弦值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 若一组数据3、4、5、x、6、7的平均数是5，则x的值是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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6. 抛物线 $y = x^{2} + 4 x + 2020$ 的对称轴是（）

A、直线 $x = - 2$ B、直线 $x = 2$ C、直线 $x = 2016$ D、直线 $x = 2024$

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7. 如图， $A B$ 为⊙O的直径，点C、D是 $\overset{⌢}{B E}$ 的三等分点， $∠ A O E = 60 °$ ，则 $∠ B O D$ 的度数为（）

A、40° B、60° C、80° D、120°

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8. 一元二次方程 $5 x^{2} - 7 x + 5 = 0$ 的根的情况为（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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9. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使 $D E ： A D = 1 ： 3$ ，连结EF交DC于点G，则 $S_{△ D E G} ： S_{Δ C F G}$ ＝（）

A、2：3 B、3：2 C、9：4 D、4：9

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10. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝ $\frac{5}{7}$ ，则BC的长是（）

A、10 B、8 C、4 $\sqrt{3}$ D、2 $\sqrt{6}$

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11. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + k + 1 = 0$ 的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 24$ ，则k的值是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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12. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （a＞0）的图象经过点A（−1，2），B（2，5），顶点坐标为（m，n），则下列说法错误的是（）

A、c＜3 B、m≤ $\frac{1}{2}$ C、n≤2 D、b＜1

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二、填空题

13. 二次函数 $y = \frac{1}{3} {(x + 3)}^{2} - 2$ 的顶点坐标是.

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14. 小华5次射击的成绩如下：（单位：环）5，9，7，10，9．其方差为3.2，如果他再射击1次，命中8环，那么他的射击成绩的方差．（填“变大”、“变小”或“不变”）

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15. 七边形 $A B C D E F G$ 位似于七边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1} G_{1}$ ，它们的面积比为4∶9，已知位似中心O到A的距离为6，那么O到 $A_{1}$ 的距离为.

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16. 如图，小明沿着一个斜坡从坡底A向坡顶B行走的过程中发现，他每向前走60m，他的高度就升高36m，则这个斜坡的坡度等于.

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17. 如图， $A B$ 是⊙O的直径，C是⊙O上一点， $O D ⊥ B C$ 于点D， $A C = 8 c m$ ， $B D = 3 c m$ ，则 $A B$ 的长为 $c m$ .

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18. 如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y= $\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象恰好经过点F，M.若直尺的宽CD=3，三角板的斜边FG= $8 \sqrt{3}$ ，则k=.

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三、解答题

19. 计算： $4 s i n 60 ° - | \sqrt{3} - 2 | + 202 0^{0} - \sqrt{12} + {(\frac{1}{4})}^{- 1}$ .

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20. 如图， $△ A B C$ 的三个顶点都在⊙O上，直径 $A D = 4 c m$ ， $∠ D A C = 2 ∠ B$ .求 $A C$ 的长.

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21. 某单位准备将院内一块长30m、宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修建两条纵向和一条横向的小道，剩余的地方种植花草，如图所示.要使种植花草的面积为532 $m^{2}$ ，那么小道进出口的宽应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等）

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22. 为了解某校初二学生每周上网的时间，两位学生进行了抽样调查.小丽调查了初二电脑爱好者中40名学生每周上网的时间；小杰从全校400名初二学生中随机抽取了40名学生，调查了每周上网的时间.小丽与小杰整理各自样本数据，如下表所示：
时间段
（小时／周）
小丽抽样
人数
小杰抽样
人数
0～1
6
22
1～2
10
10
2～3
16
6
3～4
8
2
（每组可含最低值，不含最高值）

(1)、你认为哪位同学抽取的样本不合理？请说明理由；

(2)、根据合理抽取的样本，把上图中的频数分布直方图补画完整；

(3)、专家建议每周上网2小时以上（含2小时）的同学应适当减少上网的时间，估计该校全体初二学生中有多少名同学应适当减少上网的时间？

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23. 如图， $Δ A B C$ 为锐角三角形， $A D$ 是边 $B C$ 上的高，正方形 $E F G H$ 的一边在 $B C$ 上，顶点G，H分别在 $A C$ ， $A B$ 上，已知 $B C = 30 c m$ ， $A D = 20 c m$ .

(1)、求证： $△ A H G ∽ △ A B C$ ；

(2)、求正方形 $E F G H$ 的面积

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24. 如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图.汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度.（结果保留一位小数）
（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75， $\sqrt{2}$ ≈1.41）

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25. 在△ABC中.BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2.

(1)、y关于x的函数关系式是， x的取值范围是；

(2)、在平面直角坐标系中画出该函数图象；

(3)、将直线y=-x+3向上平移a(a>0)个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值.

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26. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与x轴的交点为A和B，其中点 $A (- 1 ， 0)$ ，且点 $D (2 ， 3)$ 在该抛物线上.

(1)、求该抛物线所对应的函数解析式；

(2)、点P是线段 $A B$ 上的动点（点P不与点A，B重合），过点P作 $P Q ⊥ x$ 轴交该抛物线于点Q，连接 $A Q$ ， $D Q$ ，记点P的横坐标为t.若 $- 1 \leq t \leq 2$ 时，求 $△ A D Q$ 面积的最大值.

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时间段（小时／周）	小丽抽样人数	小杰抽样人数
0～1	6	22
1～2	10	10
2～3	16	6
3～4	8	2