湖南省衡阳市常宁市2020-2021学年九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-12-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列各式中是二次根式的为（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{a}$ C、 $\sqrt[3]{8}$ D、 $\sqrt{- 3}$

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2. 下列计算中，正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $2 + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{3} - 2 = \sqrt{3}$

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3. 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（）

A、3x+1=0 B、x²+3=0 C、3x²﹣1=0 D、3x²+6x+1=0

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4. 用配方法解方程： $x^{2} - 4 x + 2 = 0$ ，下列配方正确的是（）

A、 ${(x - 2)}^{2} = 2$ B、 ${(x + 2)}^{2} = 2$ C、 ${(x - 2)}^{2} = - 2$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 6$

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5. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（）.

A、 $x^{2} - 2 x = 0$ B、 $x^{2} + 4 x - 1 = 0$ C、 $3 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ D、 $2 x^{2} - 4 x + 3 = 0$

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6. 下列条件是随机事件的是（）

A、通常加热到100℃时，水沸腾 B、在只装有黑球和白球的袋子里，摸出红球 C、购买一张彩票，中奖 D、太阳从东方升起

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7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC＝12，则sinB的值是

A、 $\frac{5}{13}$ B、 $\frac{12}{13}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{12}{5}$

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8. 若△ABC∽△DEF，且对应高线比为4：9，则△ABC与△DEF的周长比为（）

A、2：3 B、3：2 C、4：9 D、16：81

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9. 如图，在 $Δ A B C$ 和 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是以点 $O$ 为位似中心的位似三角形，若 $C_{1}$ 为 $O C$ 的中点， $A B = 4$ ，则 $A_{1} B_{1}$ 的长为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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10. 如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为（）

A、26米 B、28米 C、30米 D、46米

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11. 如图，把 $△ A B C$ 经过一定的变换得到 $△ A B C$ ，如果 $△ A B C$ 上点 $P$ 的坐标为 $(x ， y)$ ，那么这个点在 $△ A B C$ 中的对应点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(- x ， y - 2)$ B、 $(- x ， y + 2)$ C、 $(- x + 2 ， - y)$ D、 $(- x + 2 ， y + 2)$

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12. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是 $O A$ 的中点，连接 $B E$ 并延长交 $A D$ 于点 $F$ ， $S_{△ A E F} = 4$ ，则下列 $A B C D$ 结论：① $F D = 2 A F$ ；② $S_{△ B C E} = 36$ ；⑧ $S_{△ A B E} = 16$ ；④ $△ A E F ∽ △ A C D$ ；其中一定正确的是（）

A、①②③④ B、①② C、②③④ D、①②③

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二、填空题

13. 若最简根式 $\sqrt{a + 3}$ 与 $\sqrt{11 - 3 a}$ 是可以合并的二次根式，则a的值是.

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14. 小鸡孵化场孵化出一批小鸡，工人在其中50只小鸡上做记号后让这批小鸡充分跑散，后来再任意抓出100只小鸡，其中有记号的有10只，则这批小鸡大约有只．

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15. 已知关于x的一元二次方程x²－3x＋1＝0的两个实数根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ,则 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1)$ 的值为．

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16. 若 a 是方程 x²﹣x+5=0 的一个根，则代数式 a²﹣a 的值是.

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17. 如图，已知∠ACD＝∠B，若AC＝6，AD＝4，BC＝10，则CD长为.

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18. 如下图，在平面直角坐标系中有一边长为l的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y 轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB₁C₁ ，再以对角线OB_l为边作第三个正方形OB_lB₂C₂ ，照此规律作下去，则点B₂₀₂₀的纵坐标为.

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三、解答题

19. 计算：

(1)、 $\sqrt{5}$ （2 $\sqrt{5}$ ﹣1）；

(2)、（﹣ $\sqrt{3}$ ）²﹣ $\sqrt{(- 4)^{2}}$ ﹣ $\sqrt[3]{- 8}$ ﹣|1﹣ $\sqrt{2}$ |+2cos45°.

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20. 解方程：（x﹣3）²+2x（x﹣3）＝0．

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21. 已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6.求证：△ADE∽△ACB．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点D，若 $A D = 6$ ． $\tan C = \frac{3}{2}$ ， $B C = 12$ ，求 $\cos B$ 的值．

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23. 如今很多初中生购买饮品饮用，市场上的大多数饮料含糖量非常高，饮料里含的各种防腐剂，甜蜜素等等对身体非常不好，为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料.根据统计结果绘制如下两个统计图（如图），根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)、这个班级有 ▲ 名同学？并补全条形统计图；

(2)、在扇形统计图中，求“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角度数为度？

(3)、为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取2名同学做良好习惯监督员，请用列表法或树状图法求出恰好抽到一男一女的概率.

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24. 某商店原来将进货价为8元的商品按10元售出，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法来增加利润，已知每件商品涨价1元，每天的销售量就减少20件，设这种商品每个涨价x元.

(1)、填空：
原来每件商品的利润是元；
涨价后每件商品的实际利润是元（可用含x的代数式表示）；

(2)、为了使每天获得700元的利润，售价应定为多少？

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25. 周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）小船从P处出发，沿北偏东60°方向滑行150米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处．在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏东30°的方向上．

(1)、求点P与AB距离多少米？

(2)、如果小亮从A到B的速度是3米/秒，那么小亮从A到B所用的时间是多少秒？

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26. 如图

(1)、如图①，在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ，点 $P$ 在 $B C$ 边上， $∠ B = ∠ A P D = 90^{\circ}$ ，
求证： $△ A B P ∽ △ P C D$

(2)、探究：如图②，在四边形 $A B C D$ 中，点 $P$ 在 $B C$ 边上，当 $∠ B = ∠ C = ∠ A P D$ 时，求证： $△ A B P ∽ △ P C D$

(3)、拓展：如图③，在 $△ ABC$ 中，点 $P$ 是边 $B C$ 的中点，点 $D ， E$ 分别在边 $A B ， A C$ 上，若 $∠ B = ∠ C = ∠ D P E = 45^{\circ} ， B C = 8 \sqrt{2} ， C E = 6$ ，求 $D E$ 的长

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