湖南省衡阳市2020-2021学年九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-12-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2} = \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{9}$ =±3

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2. 如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为( )

A、2 B、4 C、6 D、8

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3. △ABC中，AB=6，BC=10，CA=12，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（）

A、12 B、18 C、20 D、27

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4. 已知x=2是一元二次方程x²+mx+2=0的一个解，则m的值是（）

A、﹣3 B、3 C、0 D、0或3

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5. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6. 下列事件中，必然事件是（　　）

A、抛掷1个均匀的骰子，出现6点向上 B、两直线被第三条直线所截，同位角相等 C、366人中至少有2人的生日相同 D、实数的绝对值是非负数

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7. 将抛物线y＝（x﹣1）²+2向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（）

A、（0，2） B、（0，3） C、（0，4） D、（0，7）

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8. 如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=5m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是（）

A、 $\frac{5}{6} m$ B、 $\frac{6}{7} m$ C、 $\frac{6}{5} m$ D、 $\frac{10}{3} m$

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9. 在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（　　）

A、 $\frac{5 \sqrt{7}}{14}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{14}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$

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10. 如图，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为A（3，0），其部分图象如图所示，下列结论中：①b²＜4ac；②方程ax²+bx+c＝0的两个根是x₁＝﹣1，x₂＝3；③2a+b＝0；④a+b+c＜0；⑤当0＜x＜3时，y随x增大而减小；其中结论正确的个数是（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题

11. 已知： $\sqrt{a - 2} + (b + 5)^{2} ＝ 0$ ，那么a＋b的值为.

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12. 方程 $x (x + 3) = x + 3$ 的解是.

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13. 将抛物线y=2（x﹣1）²+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为．

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14. 方程2x²-3x-1=0，则 $x_{1}^{2}$ + $x_{2}^{2}$ =.

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15. 若点 $A (x_{1} ， m)$ 和点 $B (x_{2} ， m)$ $(x_{1} \neq x_{2})$ 都在二次函数 $y = \frac{\sqrt{2}}{2} x^{2} - 1$ 的图象上，则当 $x = x_{1} + x_{2}$ 时，函数y的值是.

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16. 如图，△ABC∽△ADE，∠BAC =∠ADE =90°，AB=4，AC=3，F是DE的中点，若点E是直线BC上的动点，连接BF，则BF的最小值是.

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三、解答题

17. 计算：(π-2017)⁰+(sin60°)^-1-︱tan30°- $\sqrt{3}$ ︱+ $\sqrt{4}$ .

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18. 计算： $\sqrt{2}$ ×（﹣ $\sqrt{6}$ ）+| $\sqrt{3}$ ﹣2|﹣（ $\sqrt{2}$ ）²

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19. 解方程： $2 x^{2} + 4 x - 1 = 0$ （用配方法）.

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20. 某商场今年“十一”期间举行购物摸奖活动，摸奖箱里有四个标号分别为1，2，3，4的质地，大小都相同的小球，任意摸出一个小球，记下小球标号后，放回箱里并摇匀，再摸出一个小球，再记下小球标号.商场规定：两次摸出的小球之和为“8”或“6”时才算中奖.请结合“树形图法”或“列表法”，求出顾客小彦参加此次摸奖活动时中奖的概率.

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21. 2013年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5265元．

(1)、求平均每年下调的百分率.

(2)、假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）

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22. 丁丁要制作一个形如图①的风筝，想在一个矩形材料中裁剪出如图②阴影所示的梯形翅膀，请你根据图②中的数据帮丁丁计算出BE，CD的长度(精确到个位， $\sqrt{3}$ ≈1.7).

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23. 如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D=∠BAC

(1)、求证：AD是半圆O的切线；

(2)、求证：△ABC∽△DOA；

(3)、若BC=2，CE= $\sqrt{2}$ ，求AD的长.

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24. （问题情境）

(1)、古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.射影定理是数学图形计算的重要定理.
其符号语言是：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）CD²＝AD•BD，（2）AC²＝AB•AD，（3）BC²＝AB•BD；请你证明定理中的结论（2）BC²＝AB•BD.

(2)、（结论运用）
如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
①求证：△BOF∽△BED；

②若BE＝2 $\sqrt{10}$ ，求OF的长.

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