云南省三校2022届高三理数高考备考实用性联考（三）试卷

试卷更新日期：2021-12-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $i z = i - 2$ ，则 $| z | =$ （）

A、5 B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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2. 已知 $A = {x | y = l o g_{2} (x - 1)}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x > 0}$ ，则 $(∁_{R} B) \cap A =$ （）

A、 $[0 ， 2]$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(1 ， 2]$ D、 $(1 ， 2)$

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3. 设a，b，c，d为实数，则“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 执行如图所示的程序框图，输出的 $S =$ （）

A、-3 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、2

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5. 已知 $c o s α = - \frac{\sqrt{5}}{5} (0 < α < π)$ ，则 $t a n (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、-3 D、3

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6. 昆明市博物馆十一期间同时举办“滇池地区青铜文化精品展”､“恐龙化石展”､“清代云南名家扇面精品展”､“馆藏明代民窑青花瓷展”四个展览，某代表团决定在十一黄金周期间某一天的上､下午各参观其中的一个，且“滇池地区青铜文化精品展”､“恐龙化石展”至少参观一个，则不同的参观方案共有（）

A、6种 B、8种 C、10种 D、12种

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7. 在 $△ A B C$ 中， $B C$ 边上的点 $D$ 满足 $\vec{C D} = 2 \vec{D B}$ ，设 $\vec{A C} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A B} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{3}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{5}{2} \vec{a} - \frac{3}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{3}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$

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8. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象如图，则不等式 $\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} \cdot f (x) ≥ 0$ 的解集为（）

A、 $[- 2 ， 0) \cup (0 ， 1]$ B、 $(- \infty ， - 2] \cup [0 ， 1]$ C、 $[- 2 ， 0) \cup [1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2] ∪ [1 ， + \infty)$

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9. 将函数 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{3})$ 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标保持不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若 $g (x_{1}) g (x_{2}) = - 1 (x_{1} \neq x_{2})$ ，则 $| \frac{x_{1} + x_{2}}{2} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{12}$ D、 $\frac{π}{6}$

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10. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是棱 $C C_{1}$ ， $C B$ ， $C D$ 的中点， $P$ 为线段 $A D_{1}$ 上的一个动点，平面 $α ∥$ 平面 $E F G$ ，则下列命题中错误的是（）

A、不存在点 $P$ ，使得 $C P ⊥$ 平面 $E F G$ B、三棱锥 $P - E F G$ 的体积为定值 C、平面 $α$ 截该正方体所得截面面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、平面 $α$ 截该正方体所得截面可能是三角形或六边形

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11. 已知双曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > 0$ ， $b > 0$ )的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若双曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - b^{2} = 0$ 在第二象限的交点为 $M$ ，且 $\frac{| \vec{M F_{1}} |}{| \vec{M F_{2}} |} = \frac{1}{3}$ ，则双曲线 $C_{1}$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、3 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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12. 设 $a = \frac{4 - l n 4}{e^{2}}$ ， $b = \frac{1}{e}$ ， $c = \frac{l n 2}{2}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = 2 l n x + \frac{1}{2} a x^{2}$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线倾斜角为150°，则实数 $a =$ ．

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14. 北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术，隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，最长一层长有 $a$ 个，宽有 $b$ 个，共有 $a b$ 个木桶，每一层长宽比上一层多一个，假设最上层有长3宽2共6个大桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放9层，最底层的木桶个数为．

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15. 已知圆台的上底面半径是 $\frac{1}{2}$ ，下底面半径是1，母线长为 $\frac{3}{2}$ ，则该圆台内半径最大的球的半径是.

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16. 托勒密定理是数学奥赛中的常用定理，该定理指出：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.如图，已知四边形 $A B C D$ 的四个顶点在同一个圆的圆周上， $A D = C D$ ， $c o s ∠ A C D = \frac{3}{5}$ ， $B D = 5$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为.

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三、解答题

17. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A A_{1} = 2 A B = 2 B C$ ，点 $D$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，点 $E$ 在棱 $A A_{1}$ 上， $B E ⊥ E C_{1}$ .

(1)、证明： $B E ⊥$ 平面 $E B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若 $A E = A B$ ，求 $D E$ 与平面 $E B_{1} C_{1}$ 所成角的正弦值.

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18. 设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 1$ 且 $S_{n} + S_{n + 1} = 3 a_{n + 1} - 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = l o g_{a_{n + 1}} 2$ ，求 ${b_{n} b_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和.

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19. $C O P 15$ 大会原定于2020年10月15~28日在昆明举办，受新冠肺炎疫情影响，延迟到今年10月11~24日在云南昆明举办，同期举行《生物安全议定书》､《遗传资源议定书》缔约方会议.为助力COP15的顺利举行，来自全省各单位各部门的青年志愿者们发扬无私奉献精神，用心用情服务，展示青春风采.会议期间有两家外卖公司帮部分志愿者送餐，送餐员的工资方案如下： $A$ 公司的底薪40，每单抽成4元； $B$ 公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成6元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其80天的送餐单数，得到如下频数表：
$A$ 公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数
37
38
39
42
43
天数
20
25
10
15
10
$B$ 公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数
37
38
39
42
43
天数
10
20
20
25
5
若将频率视为概率，回答下列两个问题：

(1)、记 $B$ 公司送餐员日工资为 $X$ （单位：元），求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、小李打算到 $A$ ， $B$ 两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？请说明你的理由.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x + 2 s i n x + 1$ ， $g (x) = e^{x} (s i n x + c o s x + x^{2} - 2 x)$ .

(1)、求证： $f (x) > 0$ 在 $x \in [0 ， + \infty)$ 上恒成立；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $g (x) \geq a f (x)$ 在 $x \in [0 ， + \infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，椭圆 $C$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $M (0 ， - 2)$ 为椭圆 $C$ 的下顶点，直线 $M A$ 与 $M B$ 的斜率之积为 $- \frac{2}{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设点 $P$ ， $Q$ 为椭圆 $C$ 上位于 $x$ 轴下方的两点，且 $P F_{1} ∥ Q F_{2}$ ，求四边形 $F_{1} P Q F_{2}$ 面积的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = 2 ρ c o s θ + 8$ .曲线 $D$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = c o s θ \\ y = 2 + s i n^{2} θ \end{array}$ ，（ $θ$ 为参数）.

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程与曲线 $D$ 的普通方程；

(2)、若点 $P (2 ， 0)$ ，直线 $l$ 经过点 $P$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $| | P A | - | P B | |$ 的取值范围.

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23. 已知 $a ， b \in (0 ， + \infty)$ .

(1)、证明： $a^{3} + b^{3} \geq a^{2} b + a b^{2}$ ；

(2)、求 $a^{2} + b^{2} + {(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})}^{2}$ 的最小值.

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送餐单数	37	38	39	42	43
天数	20	25	10	15	10

送餐单数	37	38	39	42	43
天数	10	20	20	25	5