四川省金太阳普通高中2021-2022学年高三理数第三次联考试卷

试卷更新日期：2021-12-27 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设复数 $z = (2 + i) (1 - 3 i)$ ，则 $z$ 的实部与虚部之和为（）

A、0 B、-10 C、5 D、10

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2. 已知集合 $A = {x ∣ m < x < m + 5} ， B = {x ∣ - 3 < x < 7}$ ，若 $A \cup B = {x ∣ - 3 < x < 8}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x ∣ 2 < x < 7}$ B、 ${x ∣ - 3 < x < 2}$ C、 ${x ∣ 3 < x < 7}$ D、 ${x ∣ - 3 < x < 3}$

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3. “ $t a n α > 0$ ”是“ $α$ 为锐角”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 截至2021年11月15日，《长津湖》的票房已超56亿，该片突出了革命先烈的牺牲精神，也更加显示出如今和平生活的来之不易，某影院记录了观看此片的70位观众的年龄，其中年龄位于区间 $[10 ， 20)$ 的有10位，位于区间 $[20 ， 30)$ 的有20位，位于区间 $[30 ， 40)$ 的有25位，位于区间 $[40 ， 50]$ 的有15位，则这70位观众年龄的中位数约为（）

A、33 B、32 C、33 D、34

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5. 若曲线 $y = x^{3} + a x$ 在点 $(1 ， a + 1)$ 处的切线方程为 $y = 7 x + m$ ，则 $m =$ （）

A、3 B、-3 C、2 D、-2

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6. 执行如图所示的程序框图，若输出的 $S = 8$ ，则输入的 $k$ 可能为（）

A、9 B、5 C、4 D、3

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7. 设 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， △ A B C$ 的面积 $S = (a^{2} + b^{2} - c^{2}) s i n 2 C$ ，则 $c o s C =$ （）

A、 $\pm \frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\pm \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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8. 函数 $f (x) = s i n (2^{x} - 2^{- x})$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${S_{n} + n}$ 是公比为2的等比数列，且 $a_{1} = 1$ ，则 $a_{8} =$ （）

A、255 B、257 C、127 D、129

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10. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3} A D = 3 ， \vec{D C} = 4 \vec{M C} ， \vec{B P} = λ \vec{B C}$ ，且 $\vec{A D} \cdot \vec{A P} = 2$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{D P} =$ （）

A、 $\frac{23}{4}$ B、5 C、 $\frac{19}{4}$ D、4

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11. 投壸是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲、乙每次投壶投中的概率分别为 $\frac{1}{2} ， \frac{1}{3}$ ，每人每次投壸相互独立.若约定甲投壶2次，乙投壶3次，投中次数多者胜，则甲最后获胜的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{5}{27}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{10}{27}$

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12. 已知 $1.584 < l o g_{2} 3 < 1.585 ， 1.58 4^{3} \approx 3.97 ， 1.58 5^{3} \approx 3.98$ .设 $a = l o g_{2} (l o g_{3} 4) ， b = l o g_{3} (l o g_{4} 2)$ ， $c = l o g_{4} (l o g_{2} 3)$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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二、填空题

13. ${(x^{3} - \frac{2}{x})}^{4}$ 的展开式中的常数项等于

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14. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y + 2 ⩾ 0 ， \\ x + y - 3 ⩽ 0 ， \\ 3 x - 2 y + 6 ⩾ 0 ， \end{array}$ ，则 $3 x - y$ 的最小值为.

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15. 已知函数 $f (x) = t a n \frac{x}{2}$ ，现有下列四个命题：
① $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ；
②曲线 $y = f (x)$ 关于点 $(π ， 0)$ 对称；
③若 $f (α) = \frac{1}{2}$ ，则 $t a n α = - \frac{4}{3}$ ；
④若 $f (2 α) = 2$ ，则 $s i n (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3} s i n (α + \frac{π}{4})$ .
其中所有真命题的编号是.

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16. 设直线 $x = t (0 ⩽ t ⩽ 2)$ 与函数 $y = x^{3}$ 的图象交于点 $A$ ，与直线 $y = 3 x - 4$ 交于点 $B$ ，则 $| A B |$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 春见柑橘的学名是春见，俗称耙耙柑，2001年从中国柑橘研究所引进，广泛种植于四川､重庆､江西等地，四川省某个春见柑橘种植基地随机选取并记录了8棵春见柑橘树未使用新技术时的年产量（单位：千克）和使用了新技术后的年产量的数据的变化，得到如下表格：未使用新技术时的8棵春见柑橘树的年产量
末使用新技术时的8棵春见柑橘树的年产量

第一棵
第二棵
第二棵
第四棵
第五棵
第六棵
第七棵
第八棵
年产量
30
32
33
30
34
30
34
33
使用了新技术后的8棵春见柑橘树的年产量

第一棵
第二棵
第三棵
第四棵
第五棵
第六棵
第七棵
第八棵
年产量
40
39
40
37
42
38
42
42
已知该基地共有40亩地，每亩地有55棵春见柑橘树

(1)、根据这8棵春见柑橘树年产量的平均值，估计该基地使用了新技术后，春见柑橘年总产量比未使用新技术时增加的百分比；

(2)、已知使用新技术后春见柑橘的成本价为每千克5元，市场销售价格为每千克10元.若该基地所有的春见柑橘有八成按照市场价售出，另外两成只能按照市场价的八折售出，试估计该基地使用新技术后春见柑橘的年总利润是多少万元.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面为直角梯形， $C D$ $∥$ $A B ， A D ⊥ A B$ ，且 $P A = A D ， E$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、证明： $A E ⊥$ 平面 $P C D$ .

(2)、若 $A D = C D = \frac{1}{2} A B$ ，求二面角 $B - P C - D$ 的大小.

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19. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，从下面①②③中任意选择两个作为条件，证明另外个成立.
① $a_{3} = 9$ ；② $S_{n} = n (a_{n} - n + 1)$ ；③数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{n}{10 n + 25}$ .
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点恰为椭圆 $D ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 长轴的端点，且 $C$ 的短轴长为2.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与直线 $y = 2 x - 1$ 平行，且 $l$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点， $M (1 ， 0)$ ，求 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - (1 + 2 a) x + l n x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性.

(2)、当 $a = 0$ 时，证明： $\frac{e^{x}}{x} > \frac{7}{10} - x^{2} - 2 f (x)$ .

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22. 在极坐标系中，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = - 4 c o s θ$ ，以极点 $O$ 为坐标原点，极轴为 $x$ 轴的正半轴，建立直角坐标系 $x O y$ .

(1)、写出曲线 $C$ 的一个参数方程；

(2)、设 $P$ 为曲线 $C$ 上的一个动点， $P$ 到 $x$ 轴， $y$ 轴的距离分别为 $d_{1} ， d_{2}$ ，求 $d_{1} + d_{2}$ 的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 3 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) < | 3 x - 1 |$ 的解集.

(2)、若函数 $g (x) = f (2 x) - 2 | x - 6 |$ 的最大值为 $m$ ，证明： $(x^{2} + y^{2} + z^{4}) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{z^{4}}) \geq m$ .

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	第一棵	第二棵	第二棵	第四棵	第五棵	第六棵	第七棵	第八棵
年产量	30	32	33	30	34	30	34	33

	第一棵	第二棵	第三棵	第四棵	第五棵	第六棵	第七棵	第八棵
年产量	40	39	40	37	42	38	42	42