陕西省宝鸡市金台区2021-2022学年高三上学期理数11月教学质量检测试卷

试卷更新日期：2021-12-27 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设复数 $z = 1 - 3 i$ ，则 $\bar{z} (1 - i) =$ （）

A、 $- 2 - 4 i$ B、 $4 - 2 i$ C、 $- 2 + 4 i$ D、 $4 + 2 i$

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2. 设集合 $M = {s | s = 2 n ， n \in Z}$ ， $N = {t | t = 4 n ， n \in Z}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $M$ B、 $\emptyset$ C、 $N$ D、 $Z$

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3. 若命题p： $\exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} - x_{0} + 1 \leq 0 ，$ ，命题q： $\forall x < 0$ ， $| x | > 0$ ，则下列命题中是真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $p \land \neg q$ C、 $\neg p \land q$ D、 $\neg p \land \neg q$

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4. 已知函数 $f (x) = \frac{k + x}{k - x}$ ， $k$ 为非零常数，则下列函数中为奇函数的是（）

A、 $f (x - k) + 1$ B、 $f (x - k) - 1$ C、 $f (x + k) + 1$ D、 $f (x + k) - 1$

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5. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1} = 12$ ， $A B = 25$ ，点 $M$ 在 $A B$ 上，点 $N$ 在 $C_{1} D_{1}$ 上， $A M = D_{1} N = 9$ ，则直线 $C M$ 与 $D N$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{12}{25}$ B、 $\frac{24}{25}$ C、 $\frac{7}{24}$ D、 $\frac{7}{25}$

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6. 某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往该地区三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务.若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往同一基地，则不同的分配方案共有（）

A、18种 B、36种 C、72种 D、144种

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7. 已知曲线C₁：y = cosx，C₂∶ $y = s i n (2 x + \frac{5 π}{6})$ ，则下面结论正确的是（　　）

A、把C₁上各点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，再把所得曲线向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度，得到曲线C₂ B、把C₁上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度，得到曲线C₂ C、把C₁上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到曲线C₂ D、把C₁上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到曲线C₂

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8. 往正方体的外接球内随机放入n个点，恰有m个点落入该正方体内，则π的近似值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3} m}{n}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3} m}{3 n}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3} n}{m}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3} n}{3 m}$

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9. 在东京奥运会乒乓球男单颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度 $15 °$ 的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 $60 °$ 和 $30 °$ ，第一排和最后一排的距离为 $9 \sqrt{6}$ 米（如图所示），则旗杆的高度为（）

A、9米 B、27米 C、 $9 \sqrt{3}$ 米 D、 $9 \sqrt{6}$ 米

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10. 已知函数 $f (x) = x l n x - a x^{2}$ 有两个极值点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， + \infty)$

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11. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， F₁ ， F₂分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使得 $| P F_{1} | - | P F_{2} | = 2 b$ ，则该椭圆离心率的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ B、 $[\frac{1}{2} . 1)$ C、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$

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12. 已知 $e$ 是自然对数的底数， $π$ 是圆周率，则 $e^{3}$ ， $3^{e}$ ， $3^{π}$ ， $π^{3}$ 的大小关系是（）

A、 $3^{π} > π^{3} > 3^{e} > e^{3}$ B、 $3^{π} > π^{3} > e^{3} > 3^{e}$ C、 $π^{3} > 3^{π} > 3^{e} > e^{3}$ D、 $π^{3} > 3^{π} > e^{3} > 3^{e}$

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二、填空题

13. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 1)$ 的两条渐近线的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则双曲线的实轴长为．

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14. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 0)$ ， $\vec{c} = (4 ， - 3)$ ，且 $(λ \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则实数 $λ =$ ．

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15. △ $A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 4$ ， $b^{2} + c^{2} = 3 b c$ ， $A = 120 °$ ，则△ $A B C$ 的面积为．

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16. 甲、乙、丙三个几何体的主视图和俯视图分别相同如图（1），左视图分别如图（2）中的三个视图，则这三个几何体中体积最大的是（填甲、乙或丙），且其表面积为．

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三、解答题

17. 2021年9月15日20时，中华人民共和国第十四届运动会在西安奥体中心体育场盛大开幕，会歌《追着未来出发》将百年梦想与健康中国高度融合，标志着我国竞技体育水平的提高以及对竞技体育的重视，也激励着广大体育爱好者为梦前行．少年有梦，不应止于心动，更要付诸于行动，某篮球运动爱好者为了提高自己的投篮水平，制定了一个短期训练计划，为了了解训练效果，执行训练前，他统计了10场比赛的得分，计算出得分的中位数为15分，平均得分为15分，得分的方差为42.5分² ．执行训练后也统计了10场比赛的得分，分别为：14、9、16、21、18、8、12、23、14、15（单位：分）．

(1)、请计算该篮球运动员执行训练后统计的10场比赛得分的中位数、平均得分与方差．

(2)、如果仅从执行训练前后统计的各10场比赛得分数据分析，你认为训练计划对该运动员的投篮水平的提高是否有帮助？为什么？

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点， $F$ 为 $P C$ 的中点．

(1)、求证：平面 $A E F ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $P A = A B = 2$ ，求二面角 $A - E F - C$ 的余弦值．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{3} ， a_{2} = \frac{4}{15} ，$ 且数列 ${\sqrt{\frac{a_{n}}{4 a_{n} - 1}}}$ 是等差数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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20. 已知函数f（x）=ae^2x+（a﹣2）e^x﹣x．

(1)、讨论f（x）的单调性；

(2)、若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

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21. 过点 $D (0 ， 2)$ 的任一直线 $l$ 与抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p ＞ 0)$ 交于两点 $A ， B$ ，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 4$ ．

(1)、求 $p$ 的值．

(2)、已知 $M ， N$ 为抛物线 $C$ 上的两点，分别过 $M ， N$ 作抛物线 $C$ 的切线 $l_{1} 和 l_{2}$ ，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求证：直线 $M N$ 过定点．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{2} s i n θ$ ．

(1)、将 $C$ 的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)、设点 $A$ 的直角坐标为 $(0 ， 1)$ ， $M$ 为 $C$ 上的动点，点 $P$ 满足 $\vec{A P} = \frac{\sqrt{2}}{2} \vec{A M}$ ，写出 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程，并判断 $C$ 与 $C_{1}$ 是否有公共点．

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23. 已知不等式 $| 2 x - 3 | + | 2 x + 1 | > a x - 1$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式的解集．

(2)、若不等式的解集为 $R$ ，求 $a$ 的取值范围．

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