山西省大同市2022届高三上学期理数学情调研测试试卷

试卷更新日期：2021-12-27 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ， $A = {x | x > 0}$ ， $B = {x | x > - 1}$ ，则 $(∁_{U} A) ∩ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 0]$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(- 1 ， + \infty)$ D、 $[0 ， 1)$

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2. 设复数z满足 $(1 + \sqrt{3} i) z = 1 + i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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3. 已知a，b是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，且 $a \subset β$ ， $α ∩ β = b$ ，则“ $a / / α$ ”是“ $a / / b$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{7} + a_{9} = 16$ ，则 $S_{15} =$ （）

A、60 B、120 C、160 D、240

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5. 已知点 $P (a ， b)$ 在直线 $x + 2 y = 3$ 上，则 $2^{a} + 4^{b}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、4

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6. 若 $\frac{s i n α + c o s α}{s i n α - c o s α} = \frac{1}{2}$ ，则 $t a n 2 α$ 等于（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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7. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，且 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 单调递增，设 $a = f (\frac{3}{2})$ ， $b = f (l o g_{3} 7) ， c = f (- 0 . 8^{3})$ ，则 $a ， b ， c$ 大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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8. 函数 $y = x l n x$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 在平行四边形ABCD中，点E为CD中点，点F满足 $\overset{⇀}{A F} = 2 \overset{⇀}{F D} ， \overset{⇀}{E F} = x \overset{⇀}{A C} + y \overset{⇀}{A B}$ ，则 $x + y =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $- \frac{2}{5}$

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10. 如图，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B / / D C$ ， $A B = 2 D C = 2 A D = 2$ ， $∠ D A B = 60 °$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点，将 $Δ A D E$ 与 $Δ B E C$ 分别沿 $E D$ 、 $E C$ 向上折起，使 $A$ 、 $B$ 重合为点 $F$ ，则三棱锥 $F - D C E$ 的外接球的体积是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{8} π$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{4} π$ C、 $\frac{3}{2} π$ D、 $\frac{2}{3} π$

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11. 已知点F是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若 $△ A B E$ 是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（）

A、 $(1 ， \sqrt{2})$ B、 $(\sqrt{2} ， + \infty)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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12. 定义在实数集 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = - f (x)$ ，且当 $x \in [- 1 ， 1]$ 时， $f (x) = x$ ，则下列四个命题：
① $f (2018) = 0$ ； ②函数 $f (x)$ 的最小正周期为2；
③当 $x \in [- 2018 ， 2018]$ 时，方程 $f (x) = \frac{1}{2}$ 有2018个根；④方程 $f (x) = l o g_{5} | x |$ 有5个根．
其中真命题的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 已知向量 $a = (- 2 ， 5)$ ， $b = (2 ， m)$ ，若 $a ⊥ b$ ，则 $m =$ ．

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14. 若 $s i n (θ - \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $θ \in (0 ， π)$ ，则 $c o s (θ - \frac{π}{6}) =$ .

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15. 已知 $F$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点，点 $A$ 在抛物线上，若点 $P$ 是抛物线准线上的动点， $O$ 为坐标原点，且 $| A F | = 5$ ，则 $| P A | + | P O |$ 的最小值为．

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16. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数， $\forall x \in R$ 都有 $f (2 - x) = f (2 + x)$ ，且当 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 2$ ．若函数 $g (x) = f (x) - \log_{a} (x + 1) (a > 0 ， a \neq 1)$ 在区间 $(- 1 ， 9]$ 内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} x - \cos^{2} x - 2 \sqrt{3} \sin x \cos x (x \in R)$
（I）求 $f (\frac{2 π}{3})$ 的值

（II）求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间.

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $9 c - a = 9 b c o s A$ .

(1)、求 $c o s B$ ；

(2)、若角 $B$ 的平分线与 $A C$ 交于点 $D$ ，且 $B D = 1$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{c}$ 的值.

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19. 已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ ，满足 $2 S_{n} = 3 (a_{n} - 1)$ ( $n \in N^{*}$ ).

(1)、求证： ${a_{n}}$ 为等比数列，并写出其通项公式；

(2)、设 $b_{n} = (2 n - 1) a_{n}$ ( $n \in N^{*}$ )，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $A C ⊥ B C$ ， E为PD的中点， $∠ A B C = ∠ P C D = \frac{π}{3}$ ， $B C = 1 ， P C = 3 ， P B = \sqrt{10}$ .

(1)、求证： $P B / /$ 平面 $A C E$ ；

(2)、求二面角 $A - D E - C$ 的余弦值.

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (1 ， 0)$ ，且点 $(- 1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在椭圆 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知动直线 $l$ 过点 $F$ ，且与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点.试问 $x$ 轴上是否存在定点 $Q$ ，使得 $\overset{⇀}{Q A} \cdot \overset{⇀}{Q B} = - \frac{7}{16}$ 恒成立？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数f（x）=2lnx+1．

(1)、若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；

(2)、设a>0时，讨论函数g（x）= $\frac{f (x) - f (a)}{x - a}$ 的单调性．

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