江西省七校2022届高三上学期理数第一次联考试卷

试卷更新日期：2021-12-27 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 2}$ ， $B = {x | x^{2} - x - 2 > 0}$ ，则 $A ∩ B$ 等于（）

A、 ${x | - 2 < x < - 1}$ B、 ${x | - 2 < x < 2}$ C、 ${x | x > 2$ 或 $x < - 1}$ D、 ${x | - 1 < x < 2}$

查看试题解析
2. 已知 $z = \frac{3 + i}{1 + i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 - i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $2 + i$ D、 $1 + 2 i$

查看试题解析
3. 某校高一年级数学基础知识测试成绩的频率分布直方图如下，由此估计其平均成绩为（）

A、87 B、87.25 C、87.5 D、88

查看试题解析
4. 已知 $P$ 是椭圆 $x^{2} + 5 y^{2} = 25$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆的左，右焦点，且 $| P F_{1} | = 7$ ，则 $| P F_{2} | =$ （）

A、1 B、3 C、5 D、9

查看试题解析
5. 已知 $a = l o g_{3} \frac{2}{3}$ ， $b = 3^{- 0.6}$ ， $c = l n \frac{3}{2}$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < b < c$ C、 $b < a < c$ D、 $a < c < b$

查看试题解析
6. 已知某等差数列 ${a_{n}}$ 的项数 $n$ 为奇数，前三项与最后三项这六项之和为78，所有奇数项的和为65，则这个数列的项数 $n$ 为（）

A、9 B、11 C、13 D、15

查看试题解析
7. 某四棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、3 C、2 D、4

查看试题解析
8. 函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图像如图所示， $B C / / x$ 轴，当 $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ 时，若不等式 $f (x) \geq m - s i n 2 x$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{2}]$ C、 $(- \infty ， \sqrt{3}]$ D、 $(- \infty ， 1]$

查看试题解析
9. 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为4的概率为（）

A、 $\frac{1}{21}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、 $\frac{5}{21}$ D、 $\frac{1}{3}$

查看试题解析
10. 如图，直角三角形 $P Q R$ 的三个顶点分别在等边三角形 $A B C$ 的边 $A B$ 、 $B C$ 、 $C A$ 上，且 $P Q = 2 \sqrt{3} ， Q R = 2 ， ∠ P Q R = \frac{π}{2}$ ，则 $A B$ 长度的最大值为（）

A、 $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$ B、6 C、 $\frac{4 \sqrt{21}}{3}$ D、 $\frac{8 \sqrt{6}}{3}$

查看试题解析
11. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} - 3 x ， x \leq a ， \\ - 2 x ， x > a ， \end{array}$ 若 $f (x)$ 无最大值，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1)$ B、 $(- \infty ， - 1]$ C、 $(- \infty ， 2]$ D、 $(- 1 ， 2]$

查看试题解析
12. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的五个顶点都在球 $О$ 的球面上， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是高为 $\frac{1}{2}$ 的等腰梯形， $A D / / B C$ ， $A D = P A = 1$ ， $B C = 2$ ，则球 $О$ 的表面积为（）

A、 $10 π$ B、 $4 π$ C、 $5 π$ D、 $6 π$

查看试题解析

二、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中，已知 $D$ 是 $A B$ 边上一点，若 $3 \vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ， $\vec{C D} = x \vec{C A} + y \vec{C B}$ ，则 $x - y =$ .

查看试题解析
14. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n x + a c o s x$ ， $x \in (0 ， \frac{π}{3}]$ 的最小值为 $a$ ，则实数 $a$ 所有取值为．

查看试题解析
15. 已知函数 $f (x) = \ln x + 3$ 和 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - b x + 7 (b > 1 ， b \in R)$ ，对于任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (1 ， 2)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | > | g (x_{1}) - g (x_{2}) |$ 成立，则实数 $b$ 的取值范围为.

查看试题解析
16. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > 0$ ， $b > 0$ )的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $A$ 是双曲线渐近线上一点，且 $A F_{1} ⊥ A O$ (其中 $O$ 为坐标原点)， $A F_{1}$ 交双曲线于点 $B$ 且 $| A B | = | B F_{1} |$ ，则双曲线的离心率为.

查看试题解析

三、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，且 $a_{6} = 2$ ， $a_{4} + a_{5} = 12$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{1} a_{3} a_{5} \dots a_{2 n - 1}$ ， $n \in N *$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的最大项.

查看试题解析
18. 某科技公司记录了一种新型材料生产过程中的产量 $x$ (吨)与所需消耗的某种原材料 $y$ (吨)的几组对照数据如表.
$x$
1
2
3
4
5
$y$
1.1
1.6
2
2.5
2.8

(1)、请根据表中的数据，用最小二乘法求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程；

(2)、若该公司打算生产 $100$ 吨该材料，估计该公司需要准备多少吨这种原材料.
参考公式：回归方程 $y = b x + a$ 中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为 $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - x) (y_{i} - y)}{\sum_{i = 1}^{n} {(_{x} - x)}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n x y}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n x^{2}}$ ， $a = y - b x$ .

查看试题解析
19. 在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC $/ /$ AD，∠ADC＝90°，BC＝CD $= \frac{1}{2}$ AD＝1，E为线段AD的中点．PE⊥底面ABCD，点F是棱长PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G．

(1)、求证：BE $/ /$ FG；

(2)、若PC与AB所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值．

查看试题解析
20. 已知抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上一点 $P (2 ， y_{0})$ 到其焦点 $F$ 的距离为 $2$ ，过点 $T (t ， 0)$ $(t > 0)$ 作两条斜率为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别与该抛物线交于 $A$ ， $B$ 与 $C$ ， $D$ 两点，且 $k_{1} + k_{2} = 0$ ， $S_{△ F A B} = S_{△ F C D}$ ．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）求实数 $t$ 的取值范围．

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = a x - \ln x + \frac{a - 1}{x} (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若存在 $x_{0} \in (1 ， + \infty)$ ，使不等式 $f (x_{0}) < 2 a - 1$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C_{1} ： {\begin{array}{l} x = 2 + \frac{1}{2} t \\ y = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}$ （t为参数）， $C_{2} ： {\begin{array}{l} x = 4 m^{2} \\ y = 2 \sqrt{2} m \end{array}$ （m为参数）．

(1)、求曲线 $C_{1} ， C_{2}$ 的普通方程；

(2)、设曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交于A，B两点，点 $P (2 ， 1)$ ，求 $| \frac{1}{| P A |} - \frac{1}{| P B |} |$ 的值．

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = | x + m | + | x - 2 |$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求不等式 $f (x) < 4$ 的解集；

(2)、若存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $f (x_{0}) \leq 2$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

查看试题解析

$x$	1	2	3	4	5
$y$	1.1	1.6	2	2.5	2.8