广东省茂名化州市2022届高三上学期数学11月调研试卷

试卷更新日期：2021-12-27 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设函数 $y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 的定义域为A，函数 $y = l n (1 - 2^{x})$ 的定义域为B，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0]$ C、 $[0 ， 1)$ D、 $(- 1 ， 0)$

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2. 已知i是虚数单位，复数 $z = \frac{1 - i}{3 - i}$ ，则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 下列叙述中正确的是（）

A、若 $\forall x \in N^{*}$ ，则 ${(x - 1)}^{2} > 0$ B、若“ $x < y$ ，则 $x^{2} < y^{2}$ ”的逆否命题是真命题 C、“ $x^{2} > x$ ”是“ $x > 1$ ”的必要不充分条件 D、“ $\forall x > 0$ ，都有 $x^{2} - x - 3 < 0$ ”的否定是“ $\exists x < 0$ ，使得 $x^{2} - x - 3 ≥ 0$ ”

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4. 已知直角△ABC的三边分别是a，b，c，其中a，b是两直角边，c是斜边，则直线 $a x + b y - c = 0$ 被圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 所截得的弦长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、1

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5. ${(\frac{1}{^{x^{2}}} - x^{2})}^{6}$ 的展开式中的常数项是（）

A、-20 B、20 C、120 D、-120

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6. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列四个结论中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上是增函数 B、点 $(- \frac{5 π}{6} ， 0)$ 是函数 $f (x)$ 图象的一个对称中心 C、若 $x \in [- \frac{π}{2} ， 0]$ ，则函数 $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ D、函数 $f (x)$ 的图象可以由函数 $y = c o s 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到

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7. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且在 $[0 ， + ∞)$ 上单调递增，若实数a满足 $f (l o g_{3} a) + f (- 1) ≤$ $f (1) + f (l o g_{\frac{1}{3}} a)$ ，则实数a的取值范围为（）

A、 $a \leq 3$ B、 $a \geq 3$ C、 $0 < a \leq 3$ D、 $0 < a \leq \frac{1}{3}$

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8. 已知O为坐标原点，点F是双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点，过点F且倾斜角为 $30 °$ 的直线与双曲线C在第一象限交于点P，若 $(\vec{O F} + \vec{O P}) \cdot \vec{F P} = 0$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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二、多选题

9. 已知 $a > b > 0$ ， $c > 1$ ，且a，b都是不等于1的实数，则下列不等式成立的是（）

A、 $a^{c} > b^{c}$ B、 $l o g_{c} a < l o g_{c} b$ C、 $c^{a} > c^{b}$ D、 $\frac{c - 1}{a} > \frac{c - 1}{b}$

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10. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = \vec{c}$ ， $\vec{B C} = \vec{a}$ ， $\vec{C A} = \vec{b}$ ，则下列四个结论中正确的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形. C、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形 D、若 $(\vec{a} + \vec{c} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}) = 0$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形

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11. 如图1，直角梯形ABCD中， $A D ∥ B C$ ， $A D ⊥ C D$ ， $A D = 2 B C = 2 C D$ ， E为AD的中点，将△ABE沿BE折起，使二面角A-BE-C是直二面角，并连接AC，AD得到四棱锥A-BCDE，如图2.M，N分别是图2中BC，AD的中点则下列四个结论中正确的是（）

A、 $A E ⊥$ 平面BCDE B、 $M N ∥$ 平面ABE C、 $M N ⊥ D E$ D、 $A B ∥ M N$

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12. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{x} + l n x ， x > 0 \\ - c o s x ， x \leq 0 \end{array}$ ，则下列四个结论中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的单调递减区间是 $[- π ， 1)$ B、函数 $f (x)$ 的值域是 $[- 1 ， + \infty)$ C、函数 $y = f (x) - x$ 有且仅有两个零点 D、对任意两个不相等的正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 2$

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三、填空题

13. 已知 ${a_{n}}$ 是公差不为0的等差数列，其前n项和是 $S_{n}$ ， $a_{2}$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{4}$ 的等比中项，且 $S_{3} = 6$ ，则 $a_{2021} =$ .

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14. 一般，把短边为长边的 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 倍的矩形称为黄金矩形。黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦。帕特农神庙的部分轮廓ABCD就是黄金矩形（如下图所示）.则图中 $∠ A O D$ 的正切值等于.

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15. 某省高考实行 $3 + 1 + 2$ 模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，今年高一的小李与小王进行选科，则两人各自所选六科中除语文、数学、英语相同外，其余三科均不同的选法有种.

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16. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左､右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线交椭圆于A，B两点，则 $△ A B F_{2}$ 的内切圆面积的最大值为.

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四、解答题

17. 在① $a c o s B + b c o s A = 2 c c o s A$ ；② $a c o s C + \sqrt{3} a s i n C = b + c$ ；③ $\frac{s i n A - s i n B}{c} = \frac{s i n C - s i n B}{a + b}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题.
在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对边分别为a，b，c，已知____， $3 s i n A = 7 s i n C$ .

(1)、求 $s i n C$ ；

(2)、若 $c = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 已知正项等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{1} ， a_{2} - 1 ， a_{3}$ 成等比数列，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $b_{1} = \frac{1}{2} ， 2 S_{n + 1} = 2 S_{n} + b_{n}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = b_{n} + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ 的取值范围．

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19. 如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点．

(1)、求证：平面MND⊥平面PCD；

(2)、求点P到平面MND的距离．

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20. 某地政府为解除空巢老年人缺少日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场.从2016年开始新建社区养老机构，下表是该地近五年新建社区养老机构数量对照表：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码（ $x$ ）
1
2
3
4
5
新建社区养老机构（ $y$ ）
12
15
20
25
28

(1)、根据上表数据可知， $y$ 与 $x$ 之间存在线性相关关系，用最小二乘法求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程 $y = b x + a$ ；

(2)、若该地参与社区养老的老人，他们的年龄 $X$ 近似服从正态分布 $N (70 ， 9)$ ，其中年龄 $X \in (76 ， 79]$ 的有 $321$ 人，试估计该地参与社区养老的老人有多少人？
参考公式：线性回归方程 $y = b x + a$ ， $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - x) (y_{i} - y)}{\sum_{i = 1}^{n} {(_{x} - x)}^{2}}$ ， $a = y - b x$ .
参考数据： $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (- \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为其左、右焦点．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $y^{2} = 4 x$ 上存在两个点 $M$ 、 $N$ ，椭圆上有两个点 $P$ 、 $Q$ ，满足 $M$ 、 $N$ 、 $F_{2}$ 三点共线， $P$ 、 $Q$ 、 $F_{2}$ 三点共线，且 $P Q ⊥ M N$ ，若四边形 $P M Q N$ 的面积为 $\frac{16 \sqrt{2}}{3}$ ，求直线 $M N$ 的方程．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} a^{2}$ ，若 $x \geq 0$ 时， $g (x) \geq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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年份	2016	2017	2018	2019	2020
年份代码（ $x$ ）	1	2	3	4	5
新建社区养老机构（ $y$ ）	12	15	20	25	28