广东省2022届高三上学期数学综合能力测试（二）试卷

试卷更新日期：2021-12-27 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 2 ， 4 ， 6}$ ， $B = {n \in N | 2^{n} \leq 33}$ ，则集合 $A ∩ B$ 的子集个数为（）

A、4 B、6 C、7 D、8

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2. 若复数z满足 $(3 + 4 i) z = | 3 + 4 i |$ ，则复平面内表示 $z$ 的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $D C$ 的中点，若 $\overset{⇀}{A E} = λ \overset{⇀}{A B} + μ \overset{⇀}{A C}$ ，则 $λ + μ$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、-1 D、1

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4. 某地对生活垃圾使用填埋和环保两种方式处理.该地2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中15万吨以填埋方式处理，5万吨以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量比前一年增加1万吨，同时，因垃圾处理技术越来越进步，要求从2021年起每年通过环保方式处理的生活垃圾量是前一年的 $q$ 倍，若要使得2024年通过填埋方式处理的生活垃圾量不高于当年生活垃圾总量的50%，则 $q$ 的值至少为（）

A、 $\sqrt[5]{2.4}$ B、 $\sqrt[5]{2.5}$ C、 $\sqrt[4]{2.4}$ D、 $\sqrt[4]{2.5}$

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5. 函数 $y = l o g_{2} (4^{x} + 1 6^{x}) - 3 x$ 的图象（）

A、关于原点对称 B、关于 $y$ 轴对称 C、关于直线 $x = 2$ 对称 D、关于点 $(0 ， 1)$ 对称

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6. 下雨天开车，由于道路条件变差，司机的视线受阻，会给交通安全带来很大的影响．交警统计了某个路口300天的天气和交通情况，300天中有90天下雨，有50天发生了交通事故，其中有30天既下雨又发生了交通事故，则估计该路口“下雨天发生交通事故的概率”是“非雨天发生交通事故概率”的（）

A、1.5倍 B、2.5倍 C、3.5倍 D、4.5倍

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7. 某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线 $l$ 上取长度为1的线段AB，并作等边三角形ABC，然后以点B为圆心，BA为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D；再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，得到的螺线如图所示．当螺线与直线 $l$ 有6个交点（不含A点）时，则螺线长度最小值为（）

A、 $30 π$ B、 $\frac{100 π}{3}$ C、 $\frac{110 π}{3}$ D、 $40 π$

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8. 已知异面直线 $a$ 、 $b$ 所成的角为 $6 0^{∘}$ ，其公垂线段 $M N$ 的长度为 $2$ ，长度为 $4$ 的线段 $P Q$ 的两端点分别在直线 $a$ 、 $b$ 上运动，则 $P Q$ 中点的轨迹为（）（注：公垂线段指与异面直线垂直且相交的线段）

A、直线 B、圆 C、椭圆 D、双曲线

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9. 记数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} - a_{n} \in {1 ， 3 ， 5}$ ， $S_{k} = 100$ ，则k可以等于（）

A、8 B、9 C、11 D、12

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二、多选题

10. 近年来，报考教师资格证的人数越来越多，教师行业逐渐升温．下图给出了近四年四所师范院校的录取分数排名，则（）

A、近四年北京师范大学录取分数排名变化最不明显 B、近四年湖南师范大学录取分数排名的平均值最大 C、近四年华南师范大学录取分数排名的极差值最大 D、近四年华中师范大学的生源质量呈现下降的趋势

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11. 设 $α$ 是给定的平面， $A$ 、 $B$ 是不在 $α$ 内的任意两点，则（）

A、在 $α$ 内存在直线与直线 $A B$ 平行 B、在 $α$ 内存在直线与直线 $A B$ 相交 C、在 $α$ 内存在直线与直线 $A B$ 垂直 D、存在过直线 $A B$ 的平面与 $α$ 垂直

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12. 已知 $f (x) = s i n (2 x + φ) + c o s 2 x$ ，则（）

A、 $\forall φ \in R$ ， $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $\forall φ \in R$ ， $| f (x) | \leq 2$ C、 $\exists φ \in (0 ， π)$ ，使得 $f (x)$ 为偶函数 D、 $\exists φ \in (0 ， π)$ ，使得 $f (x)$ 为奇函数

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三、填空题

13. ${(\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{6}$ 展开式的第 $3$ 项为．

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14. 已知 $c o s 36 ° = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$ ，则 $c o s 108 ° =$ ．

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设 $k \in R$ ，直线 $l_{1} ： x + k y = 0$ 与直线 $l_{2} ： k x - y - 2 k + 1 = 0$ 交于点 $P$ ．圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ ，则 $| P O | \cdot | P C |$ 的最大值为．

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16. 已知函数 $f (x) = 4 x^{3} + a x + b$ ，当 $x \in [- 1 ， 1]$ 时， $| f (x) | \leq 1$ 恒成立，则 $a + b =$ ．

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四、解答题

17. 某商场在双十一期间举办线下优惠活动，顾客购买一件不低于100元的商品就有资格参加一次抽奖活动，中奖能享受当件商品五折优惠﹒活动规则如下：抽奖箱中装有大小质地完全相同的10个球，分别编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，购物者在箱中摸两个球，球的编号之和为11视为中奖，其余情况不中奖﹒

(1)、求抽奖活动中奖的概率；

(2)、某顾客准备分别购买两件原价为200元、300元的商品，依次参加了两次抽奖活动，求总付款额的分布列﹒

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q \neq 1$ ， $a_{1}$ 是 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 的等差中项，设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．

(1)、求 $q$ ；

(2)、证明：数列 ${S_{n}}$ 中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列．

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19. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边长均为正整数，且 $b = 4$ ．

(1)、若角B为钝角，求△ABC的面积；

(2)、若 $A = 2 B$ ，求a．

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20. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，四边形 $A A_{1} C_{1} C$ 是边长为4的正方形﹒再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并做答：

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ；

(2)、求直线 $B C_{1}$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的正弦值﹒
条件①： $B C = B A_{1} = 2 \sqrt{5}$ ；
条件②： $B C_{1} ⊥ A_{1} C$ ；
条件③：平面 $A B C ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ﹒
注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分﹒

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， F为左焦点，上顶点P到F的距离为2，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ﹒

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设斜率为k的动直线l与椭圆C交于M，N两点，且 $| P M | = | P N |$ ，求k的取值范围﹒

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x} - a x^{2}$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \geq 2 c o s x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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