2021-2022学年高二上学期数学期末模拟卷

试卷更新日期：2021-12-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若双曲线 $m x^{2} + n y^{2} = 1$ ( $m > 0$ )的离心率为 $\sqrt{5}$ ，则 $\frac{m}{n} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、4 D、-4

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2. 已知空间向量 $\vec{m} = (3 ， 1 ， 3)$ ， $\vec{n} = (- 1 ， λ ， - 1)$ ，且 $\vec{m} / / \vec{n}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、-3 C、 $\frac{1}{3}$ D、6

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3. 若直线 $2 x + y + 3 = 0$ 与直线 $k x - y + 4 = 0$ 平行，则实数k的值为（）

A、-2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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4. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2 ， a_{4} = 11 ， a_{n} = 20$ ，则 $n$ 的值是（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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5. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为（）

A、4x＋2y＋3＝0 B、2x－4y＋3＝0 C、x－2y＋3＝0 D、2x－y＋3＝0

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6. 在平面直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为“整点”，现部分整点按如下规律排成一列：(0，0]，(0，1]，(1，0]，(0，2)，(1，1]，(2，0]，(0，3]，(1，2)，(2，1]，(3，0]，(0，4]，(1，3)，(2，2)，(3，1]，( 4，0]，…，则第666个整点是（）

A、(36，0] B、(35，0) C、( 18，0] D、( 17，0]

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7. 已知曲线 $y = x + \frac{\ln x}{k}$ 在点 $(1 ， 1)$ 处的切线与直线 $x + 2 y = 0$ 垂直，则 $k$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、 $\frac{1}{2}$ D、- $\frac{1}{2}$

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8. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的两个焦点，若椭圆 $C$ 上存在点 $M$ 满足 $∠ F_{1} M F_{2} = 120 °$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{3}{4}] \cup [4 ， + \infty)$ B、 $(0 ， \frac{9}{4}] \cup [4 ， + \infty)$ C、 $(0 ， \frac{3}{4}] \cup [12 ， + \infty)$ D、 $(0 ， \frac{9}{4}] \cup [12 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则（）

A、 $C$ 的焦点在 $y$ 轴上 B、 $C$ 的虚轴长为2 C、直线 $x = \sqrt{5}$ 与 $C$ 相交的弦长为1 D、 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm 2 x$

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10. 直线 $y = x + b$ 与曲线 $x = \sqrt{1 - y^{2}}$ 恰有一个交点，实数 $b$ 可取下列哪些值（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、-1 C、1 D、 $\sqrt{2}$

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11. 设 $S_{n}$ 是公差为 $d (d \neq 0)$ 的无穷等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则下列命题正确的是（）

A、若 $d < 0$ ，则数列 ${S_{n}}$ 有最大项 B、若数列 ${S_{n}}$ 有最大项，则 $d < 0$ C、若数列对任意的 $n \in N^{*}$ ， $S_{n + 1} > S_{n}$ 恒成立，则 $S_{n} > 0$ D、若对任意的 $n \in N^{*}$ ，均有 $S_{n} > 0$ ，则 $S_{n + 1} > S_{n}$ 恒成立

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12. 下列判断正确的是（）

A、当 $m = 3$ 时，直线 $l_{1} ： x + m y - 1 = 0$ 与 $l_{2} ： (m - 2) x + 3 y + 3 = 0$ 平行 B、当 $m = - \frac{1}{2}$ 时，直线 $l_{1} ： x + m y - 1 = 0$ 与 $l_{2} ： (m - 2) x + 3 y = 0$ 垂直 C、当 $m = 4$ 时，曲线 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$ 与曲线 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 8 y + m = 0$ 外切 D、当 $m = - 5$ 时，曲线 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$ 与曲线 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 8 y + m = 0$ 内切

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三、填空题

13. 椭圆 $\frac{x^{2}}{10 - m} + \frac{y^{2}}{m - 2} = 1$ 的焦距为4，则 $m$ 等于.

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14. 已知抛物线 $C$ 的焦点 $F (1 ， 0)$ ，则拋物线C的标准方程为，焦点到准线的距离为.

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15. 在空间直角坐标系中，已知M（2，0，0），N（0，2，10），若在z轴上有一点D，满足|MD|=|ND|，则点D的坐标为

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线l交椭圆于A，B两点，若 $| \vec{B F_{2}} | + | \vec{A F_{2}} |$ 的最大值为5，则b的值是.

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17. 设抛物线 $C ： y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l$ 过焦点 $F$ ，且与抛物线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点， $| A F | = 3$ ，则 $\frac{S_{Δ A O F}}{S_{Δ B O F}} =$ ．

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四、解答题

18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 n^{2} + n ， n \in N$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{n} = 4 \log_{2} b_{n} + 3 ， n \in N$ .

(1)、求 $a_{n} ， b_{n}$ ；

(2)、求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19.

(1)、求过点 $A (1 ， 3)$ ，斜率是直线 $y = - 4 x$ 的斜率的 $\frac{1}{3}$ 的直线方程；

(2)、求经过点 $A (- 5 ， 2)$ ，且在 $x$ 轴上的截距等于在 $y$ 轴上截距的2倍的直线方程.

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20. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，圆 $C_{2} ： {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ ，直线l过点 $M (1 ， 2)$ ．

(1)、若直线l被圆 $C_{1}$ 所截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，求直线l的方程；

(2)、若圆P是以 $C_{2} M$ 为直径的圆，求圆P与圆 $C_{2}$ 的公共弦所在直线方程．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥ A B$ ， $A B = 2 B C = 2$ ， $P C = 3$ ， $P A = 2$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $E B$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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22.
如图，椭圆 $\frac{x^{2}}{α^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (α > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} ，$ 且过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $P ， Q$ 两点，且 $P Q ⊥ P E_{1}$ 。

(1)、若 $|P F_{1}| = 2 + \sqrt{2} ， |P F_{2}| = 2 - \sqrt{2} ，$ 求椭圆的标准方程。

(2)、若 $|P Q| = λ |P F_{1}|$ ，且 $\frac{3}{4} \leq λ \leq \frac{4}{3}$ ，试确定椭圆离心率的取值范围。

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