高中数学人教A版（2019）必修一第五章三角函数

试卷更新日期：2021-12-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. “ $\tan α = 3$ ”是“ $\cos 2 α = - \frac{4}{5}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 在平面直角坐标系xOy中，角 $α$ 和角 $β$ 的顶点均与原点 $O$ 重合，始边均与x铀的非负半轴重合，它们的终边关于y轴对称，若 $\cos α = \frac{2}{3}$ ，则 $\cos β =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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3. 若 $\cos (\frac{π}{6} + α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (\frac{π}{6} - 2 α) =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$

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4. 若 $\cos (\frac{3 π}{2} - θ) = - 2 \cos (π + θ)$ ，则 $\tan θ =$ （）

A、-3 B、-2 C、2 D、3

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5. 如图所示的曲线为函数 $f (x) = A \cos (ω x - φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象，将 $y = f (x)$ 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 $\frac{3}{2}$ ，再将所得曲线向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则（）

A、函数 $g (x)$ 在 $[\frac{5 π}{24} ， \frac{13 π}{24}]$ 上单调递减 B、点 $(\frac{3 π}{8} ， 0)$ 为 $g (x)$ 图象的一个对称中心 C、直线 $x = \frac{π}{2}$ 为 $g (x)$ 图象的一条对称轴 D、函数 $g (x)$ 在 $[\frac{3 π}{4} ， π]$ 上单调递增

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6. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $\frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\cos B} = \frac{c}{\cos C}$ ，则 $△ A B C$ 一定是（）

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形

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7. 函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ (其中 $ω > 0$ ， $0 < φ \leq \frac{π}{2}$ )的图象如下图所示，为了得到 $y = \sin x$ 的图象，则需将 $y = f (x)$ 的图象（）

A、横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 B、横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位 C、横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 D、横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位

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8. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $\sin A \sin B - \cos A \cos B = \frac{1}{3}$ ， $c = 1$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为 $\frac{π}{12}$ 、 $\frac{7 π}{12}$ ，图象在 $y$ 轴上的截距为 $\sqrt{3}$ ．则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 的最大值为2 C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{5 π}{12} ， \frac{π}{12}]$ 上单调递增 D、 $f (x + \frac{π}{6})$ 为偶函数

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10. 函数 $f (x) = \sin x \sin (x + \frac{π}{3}) - \frac{1}{4}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，则 $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{1}{4} ， \frac{1}{2}]$ B、函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上为增函数 C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12} ， - \frac{1}{4})$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的图象可以由 $g (x) = \frac{1}{2} \cos 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到

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11. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (\frac{π}{12} + x) = f (\frac{π}{12} - x)$ C、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{2} ， π]$ 上单调递增 D、 $f (x - \frac{π}{6})$ 为奇函数

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12. 在△ $A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，则下列的结论中正确的是（）

A、若 $\sin A \cos A = \sin B \cos B$ ，则△ $A B C$ 一定是等腰三角形 B、若 $\cos A > \cos B$ ，则 $\sin A < \sin B$ C、若△ $A B C$ 是锐角三角形，则 $\sin A + \sin B + \sin C > \cos A + \cos B + \cos C$ D、已知△ $A B C$ 不是直角三角形，则 $\tan A \tan B \tan C = \tan A + \tan B + \tan C$

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三、填空题

13. 已知 $\tan α = - 3$ ，则 $\frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α} =$ .

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14. 已知 $\tan (π + θ) = 2$ ，则 $\sin (2 θ + \frac{π}{4}) =$ ．

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15. $△ A B C$ 中， $\cos B = \frac{5}{13}$ ， $\sin A = \frac{3}{5}$ ，则在 $△ A B C$ 中， $\cos C =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{π}{4} + x) - \sqrt{3} \cos 2 x$ ．若关于 $x$ 的方程 $f (x) - m = 2$ 在 $x \in [\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上有解，则实数 $m$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + \sin^{2} x - \cos^{2} x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间．

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18. 已知函数 $f (x) = 2 \cos^{2} ω x + 2 \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x + a (ω > 0 ， a \in R)$ .再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择能确定函数 $f (x)$ 解析式的两个合理条件作为已知，求：

(1)、函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、函数 $f (x)$ ， $x \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 的单调递增区间.
条件①： $f (x)$ 的最大值为1；条件②： $f (x)$ 的一条对称轴是直线 $x = - \frac{π}{12 ω}$ ；条件③： $f (x)$ 的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ .

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19. 设常数 $ω > 0$ ，已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x \cdot \cos ω x + \cos^{2} ω x$ 的最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、在 $△ A B C$ 中，若 $f (C) = 1$ ，求 $\cos A + \sin (B + \frac{π}{6})$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = {(\sin x + \cos x)}^{2} + 2 \cos^{2} x$

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、求 $f (x)$ 的最大值及相应x的集合.

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21. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\sqrt{3} b \sin C + c \cos B = \sqrt{3} c$ ， $C = \frac{2 π}{3}$ .

(1)、求 $A$ 的大小；

(2)、在下列条件①②中选择一个作为已知，并求出 $A C$ 边上中线 $B D$ 的长度.
① $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ；② $△ A B C$ 的周长为 $8 + 4 \sqrt{3}$ .

注：求 $B D$ 的长度，如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.

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22. 在函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ( $x \in R$ ， $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ )的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，且图象上一个最低点为 $M (\frac{2 π}{3} ， - 2)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(3)、若 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3}]$ 时，函数 $h (x) = 2 f (x) + 1 - m$ 有一个零点，求m的取值范围.

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高中数学人教A版（2019） 必修一 第五章 三角函数

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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