辽宁省沈阳市重点高中联合体2021-2022学年高二上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2021-12-24 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 抛物线y=4x²的焦点坐标是（）

A、（0，1） B、（1，0） C、（0， $\frac{1}{16}$ ） D、 $(\frac{1}{16} ， 0)$

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2. 直线 $l$ 过点 $A (0 ， 1)$ ，与直线 $l_{1} ： x - 2 y + 1 = 0$ 垂直的直线方程为（）

A、 $2 x + y - 1 = 0$ B、 $2 x - y - 1 = 0$ C、 $x + 2 y - 1 = 0$ D、 $x - 2 y - 1 = 0$

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3. 椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 有相同的焦点，则实数a等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、-1 C、1 D、-1或1

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4. 已知正四面体 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A B$ 的中点，则异面直线 $C E$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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5. 从6名男医生，5名女医生中选出3名医生组成一个医疗小组，且至少有一名女医生，则不同的选法共有（　　）

A、130种 B、140种 C、145种 D、155种

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6. 点在圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上移动时，它与定点 $B (3 ， 0)$ 连线的中点的轨迹方程是（）

A、 ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 4$ B、 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ C、 ${(2 x - 3)}^{2} + 4 y^{2} = 1$ D、 ${(x + \frac{3}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$

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7. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点，点 $M$ 是过原点 $O$ 且倾斜角为 $6 0^{°}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 的一个交点，且 $| \vec{M F_{1}} + \vec{M F_{2}} | = | \vec{M F_{1}} - \vec{M F_{2}} |$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $2 - \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 2021年7月，我国河南郑州遭受千年一遇的暴雨，为指导防汛救灾工作，某部门安排甲､乙､丙､丁､戊五名专家赴三地工作，因工作需要，每地至少需要安排一名专家，其中甲､乙两名专家必须安排在同一地工作，则不同的安排方案的总数为（）

A、36 B、30 C、24 D、18

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二、多选题

9. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E$ 是 $D D_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、直线 $B_{1} C / /$ 平面 $A_{1} B D$ B、 $B_{1} C ⊥ B D_{1}$ C、三棱锥 $C_{1} - B_{1} C E$ 的体积为 $\frac{1}{3}$ D、直线 $B_{1} E$ 与面 $C D D_{1} C_{1}$ 所成的角为 $6 0^{°}$

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10. 已知方程 $\frac{x^{2}}{4 - t} + \frac{y^{2}}{t - 1} = 1$ 表示的曲线为 $C$ 则以下四个判断正确的为（）

A、当 $1 < t < 4$ 时，曲线 $C$ 表示椭圆 B、当 $t > 4$ 或 $t < 1$ 时，曲线 $C$ 表示双曲线 C、若曲线 $C$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则 $1 < t < \frac{5}{2}$ D、若曲线 $C$ 表示焦点在 $y$ 轴上的双曲线，则 $t > 4$

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11. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点 $F$ ，作一条渐近线的垂线，垂足为点 $A$ ，与另一条渐近线交于点 $B$ ，若 $| F B | = 2 | F A |$ ，则双曲线的离心率可能为（）

A、 $2$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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12. 已知O为坐标原点， $M (2 ， 2) ， P ， Q$ 是抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 上两点，F为其焦点，若F到准线的距离为2，则下列说法正确的有（）

A、 $△ P M F$ 周长的最小值为 $2 \sqrt{5}$ B、若 $\vec{P F} = λ \vec{F Q}$ ，则 $| P Q |$ 最小值为4 C、若直线 $P Q$ 过点F，则直线 $O P ， O Q$ 的斜率之积恒为 $- 2$ D、若 $△ P O F$ 外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为 $\frac{9 π}{4}$

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三、填空题

13. 已知曲线 $x^{2} + 2 y^{2} = 4$ ，则以 $(1 ， 1)$ 为中点的弦所在直线的一般式方程为.

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14. 从2，3，4，5，6，7任取三个不同的数字，组成无重复数字三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为(用数字作答).

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15. 曲线 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ 与直线 $y = k (x - 1) + 2$ 有两个交点，则实数 $k$ 的取值范围是.

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16. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且直线 $l$ 与圆 $x^{2} - p x + y^{2} - \frac{3}{4} p^{2} = 0$ 交于 $C, D$ 两点，若 $| A B | = 3 | C D |$ ,则直线 $l$ 的斜率为．

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四、解答题

17. 已知圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 8$ ，直线 $l$ ： $m x - y + 1 - 2 m = 0$ （ $m \in R$ ）.

(1)、判断直线 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系；

(2)、若圆C上有三个不同的点到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，求此时的直线 $l$ 方程.

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18.

(1)、若 $A_{2 n}^{3} = 10 A_{n}^{3}$ ，求正整数 $n$ ；

(2)、已知 $\frac{1}{C_{5}^{n}} - \frac{1}{C_{6}^{n}} = \frac{7}{10 C_{7}^{n}}$ ，求 $C_{8}^{n}$ .

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19. 从 $A ， B ， C$ 等7人中选5人排成一排（以下问题均用数字作答）

(1)、若 $A$ 必须在内，有多少种排法？

(2)、若 $A ， B ， C$ 三人不全在内，有多少种排法？

(3)、若 $A ， B ， C$ 都在内，且 $A ， B$ 必须相邻， $C$ 与 $A ， B$ 都不相邻，有多少种排法？

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20. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $M (1 ， m)$ 为抛物线上一点，且 $| M F | = 2$ .

(1)、求抛物线的标准方程；

(2)、直线 $l$ 交抛物线于不同的 $A ， B$ 两点， $O$ 为坐标原点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 4$ 求证：直线 $l$ 恒过定点，并求出这个定点.

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21. 已知在长方形 $A B C D$ 中， $A D = 2 A B = 2 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 是 $A D$ 的中点，沿 $B E$ 折起平面 $A B E$ ，使平面 $A B E$ $⊥$ 平面 $B C D E$ .

(1)、求证：在四棱锥 $A - B C D E$ 中， $A B ⊥ A C$ ；

(2)、在线段 $A C$ 上是否存在点 $F$ ，使二面角 $A - B E - F$ 的余弦值为 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ ？若存在，找出点 $F$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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22. 如图，点 $P (0 ， - 1)$ 是椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ )的一个顶点， $C_{1}$ 的长轴是圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 的直径. $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是过点P且互相垂直的两条直线，其中 $l_{1}$ 交椭圆 $C_{1}$ 于另一点D， $l_{2}$ 交圆 $C_{2}$ 于A，B两点.

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的方程：

(2)、当 $△ A B D$ 的面积取得最大值时，求直线 $l_{1}$ 的方程.

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