河南省重点高中2021-2022学年高二上学期理数阶段性调研联考试卷

试卷更新日期：2021-12-24 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 经过点 $A (- 1 ， 4)$ 且在 $x$ 轴上的截距为 $3$ 的直线方程是（）

A、 $y = - x - 3$ B、 $y = x + 3$ C、 $y = - x + 3$ D、 $y = - x + 5$

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2. 两条平行直线 $3 x + 4 y - 5 = 0$ 与 $6 x + 8 y - 9 = 0$ 间的距离等于（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{10}$

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3. 已知方程 $x^{2} + y^{2} + k x + (1 - k) y + \frac{13}{4} = 0$ 表示圆，则实数k的取值范围是（）

A、 $k > 3$ B、 $k \leq - 2$ C、 $- 2 < k < 3$ D、 $k > 3$ 或 $k < - 2$

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4. 若直线 $l : 4 x - a y + 1 = 0$ 平分圆 $C : {(x + 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- \frac{7}{2}$ B、 $\frac{28}{15}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{28}{15}$ 或 $\frac{7}{2}$

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5. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的实轴长为4，左焦点F到C的一条渐近线的距离为3，则C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

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6. 设 $A, B$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{k} = 1$ 的两个焦点，若 $C$ 上存在点 $P$ 满足 $∠ A P B = 120 °$ ，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1] \cup [16, + \infty)$ B、 $(0, \frac{1}{2}] \cup [8, + \infty)$ C、 $(0, \frac{1}{2}] \cup [16, + \infty)$ D、 $(0, 1] \cup [8, + \infty)$

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7. 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 及圆 $x^{2} + y^{2} - 8 x + 7 = 0$ 都外切的圆的圆心在（）

A、一个圆上 B、一个椭圆上 C、双曲线的一支上 D、抛物线上

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8. 若过点 $(0 ， - 1)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 2 x$ 有且只有一个交点，则这样的直线 $l$ 共有（）条数．

A、0 B、1 C、2 D、3

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9. 直角坐标系xOy中，双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的左焦点为F，A（1，4），P是右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值是（）

A、8 B、9 C、10 D、12

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10. 已知过抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点 $F$ 的直线交抛物线于 $A, B$ 两点，以 $A F$ 为直径的圆过点 $Q (0, 4)$ ，则 $| B F |$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{10}{9}$ D、10

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11. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为F、E，直线x＝m（﹣1＜m＜1）与椭圆相交于点A、B，则（）

A、当m＝0时，△FAB的面积为1 B、不存在m使△FAB为直角三角形 C、存在m使四边形FBEA面积最大 D、存在m，使△FAB的周长最大

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12. 在直角坐标平面上，点 $P (x ， y)$ 的坐标满足方程 $x^{2} - 2 x + y^{2} = 0$ ，点 $Q (a ， b)$ 的坐标满足方程 $a^{2} + b^{2} + 6 a - 8 b + 24 = 0$ 则 $\frac{y - b}{x - a}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， 2]$ B、 $[\frac{- 4 - \sqrt{7}}{3} ， \frac{- 4 + \sqrt{7}}{3}]$ C、 $[- 3 ， - \frac{1}{3}]$ D、 $[\frac{6 - \sqrt{7}}{3} ， \frac{6 + \sqrt{7}}{3}]$

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二、填空题

13. 已知直线 $l$ 经过点P $(2 ， 3)$ ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线 $l$ 的方程为．

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14. 过点（1，2）总可作两条直线与圆 $x^{2} + y^{2} + k x + 2 y + k^{2} - 15 = 0$ 相切，则实数 $k$ 的取值范围是.

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15. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各顶点都在同一球面上，若 $∠ B A C = 30 °$ ， $B C = A A_{1} = 1$ ，则该球的表面积等于．

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16. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：
⑴AC⊥BD；
⑵△ACD是等边三角形；
⑶AB与平面BCD所成的角为60°；
⑷AB与CD所成的角为60°．
则正确结论的序号为

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三、解答题

17. 平顶山市公安局交警支队依据《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：所有主干道路凡机动车途经十字口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让行人，违反者将被处以100元罚款，记\text{3}分的行政处罚．如表是本市一主干路段监控设备所抓拍的5个月内，机动车驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：
月份
1
2
3
4
5
违章驾驶员人数
120
105
100
90
85.
（Ⅰ）请利用所给数据求违章人数 $y$ 与月份 $x$ 之间的回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；
（Ⅱ）预测该路段 $7$ 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数．
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{{\sum_{i = 1}^{n} x}_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - x) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(_{x} - x)}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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18. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 为 $A C$ 的中点.

(1)、证明： $A B_{1} //$ 平面 $B C_{1} D$ ；

(2)、证明： $B D ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ；

(3)、若 $A A_{1} = A B$ ，求直线 $B C_{1}$ 与平面 $A A_{1} C_{1} C$ 所成角的正弦值.

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19. 某中学组织了地理知识竞赛，从参加考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六组 $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， …， $[90 ， 100]$ ，其部分频率分布直方图如图所示．观察图形，回答下列问题．

(1)、求成绩在 $[70 ， 80)$ 的频率，并补全这个频率分布直方图：

(2)、估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（计算时可以用组中值代替各组数据的平均值）

(3)、从成绩在 $[40 ， 50)$ 和 $[90 ， 100]$ 的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．

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20. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列，且各项均为正值， $a_{2} = \frac{1}{16}$ ， $a_{4} a_{6} = 16 a_{3} a_{9}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \log_{4} a_{n}$ ，数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 2}}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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21. 已知直线l过定点 $A (2, - 1)$ ，圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y + 21 = 0$ ．

(1)、若 $l$ 与圆 $C$ 相切，求l的方程；

(2)、若 $l$ 与圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $Δ C M N$ 面积的最大值，并求此时 $l$ 的直线方程．

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $A D = 2 \sqrt{3}$ ， $A P = 3$ ．

(1)、求证：平面PCA⊥平面PCD；

(2)、设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°，求二面角 $E - A B - D$ 的余弦值．

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月份	1	2	3	4	5
违章驾驶员人数	120	105	100	90	85.