广东省东莞市七校2021-2022学年高二上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2021-12-23 类型：月考试卷

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一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 直线l： $x + y + \sqrt{3} = 0$ 的倾斜角为（）

A、135° B、120° C、60° D、45°

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2. 已知 $\vec{a} = (1 ， 1 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (x ， y ， 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x + y =$ （）

A、9 B、6 C、5 D、3

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3. 直线 $k x - y + 1 = 3 k$ ，当 $k$ 变动时，所有直线恒过定点坐标为（）

A、 $(0, 0)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(3, 1)$ D、 $(2, 1)$

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4. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 可表示向量 $\vec{B D_{1}}$ 为（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ D、 $- \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

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5. 已知抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点与椭圆 $\frac{y^{2}}{m} + \frac{x^{2}}{2} = 1$ 的一个焦点重合，则 $m =$ （）

A、1 B、3 C、5 D、7

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6. 设直线l与圆 $C_{1}$ ： ${(x + 2)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 36$ 交于A、B两点，若线段AB的中点为 $M (1 ， 1)$ ，则圆 $C_{2}$ ： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 上的点到直线l的距离的最小值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{9}{5}$

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7. 在三菱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $∠ B A C = 90 °$ ，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点， $A B = A C$ ， $P A = 2 A B$ ，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{5}$

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8. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(0 < a < b)$ 的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点．已知原点到直线l的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{4} c$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、2 D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， 0)$ ，则与 $\vec{a}$ 共线的向量 $\vec{b} =$ （）

A、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2} ， 0)$ B、 $(- 1 ， - 1 ， 0)$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2} ， 0)$ D、 $(0 ， 1 ， 0)$

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10. 已知点 $A (1 ， m)$ 与点 $B (m^{2} ， 1)$ 关于直线 $x + y - 4 = 0$ 上的某点对称，则m的取值可以是（）

A、2 B、-2 C、-3 D、3

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11. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，则下列结论正确的是（）

A、 $A C ⊥ B D$ B、 $△ A C D$ 是等边三角形 C、AB与平面BCD所成的角为90° D、AB与CD所成的角为30°

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12. 我们通常称离心率为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $B_{1}$ ， $B_{2}$ 为顶点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为焦点，P为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（）

A、 ${| F_{1} F_{2} |}^{2} = | A_{1} F_{1} | \cdot | A_{2} F_{2} |$ B、 $∠ F_{1} B_{1} A_{2} = 90 °$ C、 $P F_{1} ⊥ x$ 轴，且 $P O ∥ A_{2} B_{1}$ D、四边形 $A_{1} B_{2} A_{2} B_{1}$ 的内切圆过焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中第16题第一空2分，第二空3分．把答案填在答题卡中的横线上．

13. 若方程 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + k = 0$ 表示的曲线是圆，则实数的k取值范围是．

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14. 如果点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 是抛物线 $y^{2} = 2 x$ 上的点，它们的横坐标依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，F是抛物线的焦点，若 $x_{1} + x_{2} = 5$ ，则 $| P_{1} F | + | P_{2} F | =$ ．

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15. 已知平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (- 1 ， - 2 ， 2)$ ，点 $A (0 ， 1 ， 0)$ 为 $α$ 内一点，则点 $P (1 ， 0 ， 1)$ 到平面 $α$ 的距离为．

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16. 瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心，垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．已知平面直角坐标系中 $△ A B C$ 各顶点的坐标分别为A（0，0），B（8，0），C（0，6），则 $△ A B C$ 的外心坐标为；其“欧拉线”的方程为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知空间三点 $A (- 2 ， 0 ， 2)$ ， $B (- 1 ， 1 ， 2)$ ， $C (- 3 ， 0 ， 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ ．

(1)、求 $\cos 〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉$ ；

(2)、若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $k \vec{a} - \vec{b}$ 互相垂直，求k．

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18. 在 $△ A B C$ 中，已知A（0，1），B（5，－2），C（3，5）．

(1)、求边BC所在的直线方程；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 已知圆C的圆心在直线 $y = x + 1$ 上，且圆C与x轴相切，点 $P (- 5 ， - 2)$ 在圆C上，圆C半径小于3．

(1)、求圆C的方程；

(2)、若过点 $(- 2 ， - 4)$ 的直线l交圆C于A，B两点，且 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，求直线l的方程．

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20. 如图，在四棱锥P-ABCD中， $P A ⊥$ 平面ABCD， $A B ⊥ B C$ ， $B C ∥ A D$ ， $A B = B C = 1$ ， $A D = 2$ ，
$A P = 3$ ．

(1)、证明：平面 $P C D ⊥$ 平面PAC；

(2)、求平面PCD与平面PAB夹角的余弦值．

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21. 已知双曲线两个焦点分别是 $F_{1} (- \sqrt{2} ， 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{2} ， 0)$ ，点 $P (\sqrt{2} ， 1)$ 在双曲线上．

(1)、求双曲线的标准方程及其渐近线方程；

(2)、过双曲线的右焦点 $F_{2}$ 且倾斜角为60°的直线与双曲线交于A，B两点，求 $△ F_{1} A B$ 的周长．

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22. 已知动点M到定点F（1，0）的距离与到定直线 $x = 2$ 的距离之比为定值 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求动点M轨迹L的方程；

(2)、设L的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作直线l与轨迹L交于A，B两点， $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{B F_{1}} = \frac{1}{2}$ ，求 $△ A B F_{1}$ 的面积．

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