黑龙江省大庆市名校2022届高三上学期理数期中联考试卷

试卷更新日期：2021-12-23 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x - 4 < 0}, B = {- 4, 1, 3, 5} ，$ 则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 4, 1}$ B、 ${1, 5}$ C、 ${3, 5}$ D、 ${1, 3}$

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2. 设 $2 (z + \bar{z}) + 3 (z - \bar{z}) = 4 + 6 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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3. “ ”是“ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 下列命题中错误的是（）

A、如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B、如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C、如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ D、如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

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5. 已知 $\sin (\frac{5 π}{2} + α) = \frac{1}{5}$ ，那么cosα=（）

A、 $- \frac{2}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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6. 下列函数中最小值为4的是（）

A、 $y = x^{2} + 2 x + 4$ B、 $y = | \sin x | + \frac{4}{| \sin x |}$ C、 $y = 2^{x} + 2^{2 - x}$ D、 $y = \ln x + \frac{4}{\ln x}$

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7. 函数 $y = \frac{2 x^{3}}{2^{x} + 2^{- x}}$ 在 $[- 6 ， 6]$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列, $a_{4} + a_{7} = 2$ , $a_{5} a_{6} = - 8$ ,则 $a_{1} + a_{10} =$ （）

A、7 B、5 C、-5 D、-7

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9. 已知 $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $P$ 为平面 $A B C$ 内一点，则 $\vec{P A} \cdot (\vec{P B} + \vec{P C})$ 的最小值是（）

A、-2 B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、-1

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10. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．

乙：丙的成绩比我和甲的都高．

丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为

A、甲、乙、丙 B、乙、甲、丙 C、丙、乙、甲 D、甲、丙、乙

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11. 已知 $a = 5 \ln 4^{π}$ ， $b = 4 \ln 5^{π}$ ， $c = 5 \ln π^{4}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $a < b < c$

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12. 设函数 $f (x)$ 的定义域为R ，满足 $f (x + 1) = 2 f (x)$ ，且当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = x (x - 1)$ .若对任意 $x \in (- \infty ， m]$ ，都有 $f (x) \geq - \frac{8}{9}$ ，则m的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{9}{4}]$ B、 $(- \infty ， \frac{7}{3}]$ C、 $(- \infty ， \frac{5}{2}]$ D、 $(- \infty ， \frac{8}{3}]$

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二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）

13. 若抛物线y²=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是．

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14. 设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>0，b>0)的一条渐近线为y= $\sqrt{2}$ x，则C的离心率为．

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15. 设函数 $f (x) = \cos ω x (ω > 0)$ ，将y=f（x）的图像向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于．

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16. 已知 $Δ S A B$ 是边长为2的等边三角形， $∠ A C B = 45^{°}$ ，当三棱锥 $S - A B C$ 体积最大时，其外接球的表面积为．

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三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 n^{2} + n ， n \in N$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{n} = 4 \log_{2} b_{n} + 3 ， n \in N$ .

(1)、求 $a_{n} ， b_{n}$ ；

(2)、求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. $Δ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a \sin \frac{A + C}{2} = b \sin A$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $Δ A B C$ 为锐角三角形，且 c=1 ，求 $Δ A B C$ 面积的取值范围．

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = P B = P C = A C = 4$ ，O为 $A C$ 的中点．

(1)、证明： $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若点M在棱 $B C$ 上，且二面角 $M - P A - C$ 为 $30 °$ ，求 $P C$ 与平面 $P A M$ 所成角的正弦值．

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20. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点， $| F_{1} F_{2} | = 6$ ，当 $P$ 在 $E$ 上且 $P F_{1}$ 垂直 $x$ 轴时， $| P F_{2} | = 7 | P F_{1} |$ .

(1)、求 $E$ 的标准方程；

(2)、A为 $E$ 的左顶点， $B$ 为 $E$ 的上顶点， $M$ 是 $E$ 上第四象限内一点， $A M$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $B M$ 与 $x$ 轴交于点 $D$ . 求证：四边形 $A B D C$ 的面积是定值.

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21. 已知 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3 \ln x$ ， $g (x) = \frac{1}{6} x^{3} + x^{2} - a \ln x$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若不等式 $x f^{'} (x) - g^{'} (x) > f (x) - 2 x + a - 6$ 对任意 $x > 1$ 成立，求 $a$ 的最大整数解。

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22. 已知直线l的参数方程为 ${\begin{cases} x = m + \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{cases}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为 $5 \cos^{2} θ + 9 \sin^{2} θ = \frac{45}{ρ^{2}}$ ，且直线l经过椭圆 $C$ 右焦点 $F$ .

(1)、求椭圆C的内接矩形 $P M N Q$ 面积的最大值；

(2)、若直线l与椭圆C交于 $A ， B$ 两点，求 $| F A | \cdot | F B |$ 的值.

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