浙江省衢温5 1联盟2021-2022学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-12-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若全集 $U = {- 1 ， 0 ， 1 ， 3 ， 5 ， 7}$ ，集合 $A = {- 1 ， 3 ， 5 ， 7}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1}$ ， $(∁_{U} A) ∪ B$ 则（）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${0}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 3}$

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2. 下列函数不具备奇偶性的是（）

A、 $y = 2 x$ B、 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 5$ C、 $y = - \frac{3}{x}$ D、 $y = \frac{x - 3}{x + 3}$

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3. “ $x^{2} - x - 2 > 0$ ”是“ $x < - 1$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 式子 $(\sqrt[3]{3^{2}} - \sqrt{3^{3}}) \div \sqrt{3}$ 可化简为（）

A、 $3^{\frac{1}{6}} - 3$ B、 $- 3^{\frac{1}{6}} - 3$ C、 $3^{\frac{1}{6}} + 3$ D、 $- 3^{\frac{1}{6}} + 3$

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5. 等式 $| a + b | = | a | + | b |$ 成立的充要条件是（）

A、 $a b = 0$ B、 $a b < 0$ C、 $a b \geq 0$ D、 $a b ≤ 0$

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6. 函数 $f (x) = | x | - \frac{1}{x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. A，B，C，D四名学生的年龄关系如下.A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是（）

A、 $B > C > A > D$ B、 $B > C > D > A$ C、 $C > B > A > D$ D、 $C > B > D > A$

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8. 已知不等式 $2 x^{2} + b x + c \leq 0$ 的解集是 ${x ∣ - 1 \leq x \leq \frac{3}{2}}$ ，若对任意的 $t \in {t | - 1 \leq t \leq 1}$ ，不等式 $x^{2} + t x + b t + c \leq 0$ 恒成立，则x的取值范围是（）

A、 $- 2 \leq x \leq 1$ B、 $- 1 \leq x \leq 2$ C、 $\frac{1 - \sqrt{17}}{2} \leq x \leq 1$ D、 $- 1 \leq x \leq \frac{- 1 + \sqrt{17}}{2}$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、若 $p ：$ “ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 1 > 2 x$ ”，则 $⌝ p ：$ “ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 < 2 x$ ” B、若 $p ：$ “ $\forall x ， y \in R$ ， $x^{2} + y^{2} \geq 0$ ”，则 $⌝ p ：$ “ $\exists x ， y \in R$ ， $x^{2} + y^{2} < 0$ ” C、 $\exists x_{0} \in R$ ， $\frac{1}{x_{0}} < x_{0} + 1$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} > 0$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 m x + 1$ ，则下列结论有可能正确的是（）

A、 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上无最大值 B、 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上最小值为 $f (m)$ C、 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上既有最大值又有最小值 D、 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上最大值 $f (1)$ ，有最小值 $f (2)$

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11. 已知函数 $f (x)$ 是偶函数，在区间 $[1 ， 6]$ 上单调，若 $f (- 3) < f (- 5)$ ，则有（）

A、 $f (1) < f (3)$ B、 $f (- 2) > f (4)$ C、 $f (- 4) < f (3)$ D、 $f (- 1) < f (2)$

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12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如： $[- 1.5] = - 2$ ， $[2.1] = 2$ .已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{1 + 2^{x}}$ ，则关于函数 $g (x) = [f (x)]$ 的叙述中正确的是（）

A、 $g (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数 D、 $g (x)$ 的值域是 ${- 1 ， 0}$ .

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三、填空题

13. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图像过点 $(2, \sqrt{2}),$ 则 $f (4) =$ ．

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14. 设 $0 < x < 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{2}{1 - x}$ 的最小值为.

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15. 据统计，中国大陆最近每年新能源汽车产量的年平均增长率为20%，按此增长速度，大约年后新能源汽车的产量会翻两番.（取 $l g 2 \approx 0.3$ ， $l g 3 \approx 0.5$ ）

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16. 对 $a ， b \in R$ ，记 $m i n {a ， b} = {\begin{array}{l} a & a ⩽ b \\ b & a > b \end{array}$ ，若函数 $f (x) = m i n {| x + 1 | ， | x - 3 |}$ ，则方程 $f (x) = m$ 有2个不同的实根时 $m$ 的取值范围是， $f (2 x - 1) \geq f (2 x)$ 的解集是.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x ∣ - 1 < x < 2}$ ， $B = {x ∣ m - 1 \leq x \leq m + 1}$ .

(1)、若 $m = 1$ ，求 $A ∪ B$ ；

(2)、在（1） $∁_{R} A \subseteq ∁_{R} B$ ，（2） $A \cup B = A$ ，（3） $A ∩ B = B$ 中任选一个作为已知，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知 $2^{x} = 3$ ，求下列各式的值.

(1)、 $4^{x} + x l o g_{3} 2$ ；

(2)、 $\frac{2^{3 x} + 2^{- 3 x}}{2^{2 x} + 2^{- 2 x} - 1}$ .

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ .

(1)、画出函数 $f (x)$ 的图象；

(2)、解不等式： $| f (x) | \geq 2$ .

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20. 已知实数a大于0，定义域为R的函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{a} + \frac{a}{e^{x}} + 1$ 是偶函数（e是自然对数的底数， $e = 2.71828 ⋯$ ）

(1)、求实数a的值并判断函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调性（不要求证明）；

(2)、是否存在实数m，使得对任意的 $t \in R$ ，不等式 $f (2 t - 1) \geq f (t - m)$ 恒成立；若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由.

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21. 近年来，中美从贸易战的交锋，到现在全面爆发政治､经济､科技领域的主导权争夺战.华为作为 $5 G$ 科技领域的龙头，美国实施了对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般习难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为 $5 G$ ，然而这并没有让华为却步.华为在 $2019$ 年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在 $2021$ 年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本 $250$ 万，每生产 $x$ （千部）手机，需另投入成本 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = {\begin{array}{l} 10 x^{2} + 100 x ， 0 < x < 40 \\ 601 x + \frac{10000}{x} - 9450 ， x \geq 40 \end{array}$ ，由市场调研知，每部手机售价 $0.6$ 万元，且假设全年内生产的手机当年能全部销售完.

(1)、求出 $2021$ 年的利润 $W (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （千部）的函数关系式，（利润=销售额-成本）；

(2)、 $2021$ 年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

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22. 设函数 $f (x) = x^{2} + b x + c (b ， c \in R)$ .

(1)、若 $f (x) < 0$ 的解集与不等式 $\frac{3 - x}{x - 2} > 0$ 的解集相同，求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、令 $c = 2$ ，当 $x \in [- 4 ， - 3]$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数b的取值范围；

(3)、若不等式 $| f (x) | > 1$ 在区间 $[1 ， 3]$ 上无解，试求b､c均为整数的所有的实数对（b､c）.

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