天津市五校联考2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {- 2 ， - 1 ， 0}$ ， $N = {x | x^{2} \leq 1}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 ${- 1}$ B、 ${- 1 ， 0}$ C、 ${- 2 ， - 1}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0}$

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2. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{3} - 3 x^{2} + 2 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{3} - 3 x^{2} + 2 < 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{3} - 3 x^{2} + 2 \geq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{3} - 3 x^{2} + 2 < 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{3} - 3 x^{2} + 2 \geq 0$

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3. 函数 $y = \frac{\sqrt{- x^{2} - 3 x + 4}}{x}$ 的定义域为（）

A、 $[- 4, 1]$ B、 $[- 4, 0)$ C、 $(0, 1]$ D、 $[- 4, 0) \cup (0, 1]$

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4. 若 $a > 0 ， b > 0$ ，则“ $a + b = 4$ ”是“ $a b \leq 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数 $y = \frac{- 4 | x |}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 设 $a, b$ 是非零实数，若 $a > b$ ，则一定有（）

A、 $a + \frac{1}{b} > b + \frac{1}{a}$ B、 $\frac{1}{a b^{2}} > \frac{1}{a^{2} b}$ C、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 $a b > b^{2}$

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7. 已知偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = x - \frac{2}{x} (x > 0)$ ，则 ${x | f (2 x - 1) > 1}$ =（）

A、 ${x | x < - 1$ 或 $x > 2}$ B、 ${x | x < 0$ 或 $x > 1}$ C、 ${x | x < - \frac{1}{2}$ 或 $x > \frac{3}{2}}$ D、 ${x | x > \frac{3}{2}}$

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8. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $y = f (x)$ ，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = | x - a | - a (a > 0)$ 若对于任意的实数 $x$ 有 $f (x - 2) \leq f (x)$ 成立，则正数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1]$ D、 $(0 ， \frac{1}{2}]$

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二、填空题

9. 已知幂函数 $f (x) = (a^{2} - 3 a - 3) x^{a}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 为增函数，则实数 $a$ 的值为.

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10. 设函数f（x）= ${\begin{matrix} x^{2} + 1 ， x \leq 1 \\ \frac{2}{x} ， x > 1 \end{matrix}$ ，则f（f（3））= ．

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11. 若命题“ $\exists x \in R$ 使 $x^{2} + (a - 1) x + 1 < 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围为，

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12. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a + 4 b = 2$ ，则 $\frac{a^{2} + 2 b}{a b}$ 的最小值为.

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a x - x^{2} ， x \geq 0 \\ - 2 x ， x < 0 \end{array}$ ， ①若对任意 $x_{1} ， x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围为；②若 $f (x)$ 在 $[- 1 ， t)$ 上的值域为 $[0 ， 4]$ ，则实数 $t$ 的取值范围为.

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三、解答题

14. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 5}$ ，集合 $B = {x | a + 1 \leq x \leq 2 a + 1}$ ，

(1)、若 $a = 2$ ，求 $A ∪ B$ 和 $A \cap C_{R} B$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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15. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (a + b) x + 2 a$ .

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 ${x | 1 < x < 2}$ ，求 $a ， b$ 的值；

(2)、当 $b = 2$ 时，
（i）若函数 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 1]$ 上为单调递增函数，求实数 $a$ 的取值范围；
（ii）解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ .

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16. 已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本 $C$ （单位：万元）与生产量 $x$ （单位：千件）间的函数关系是 $C = 3 + x$ ；销售收入 $S$ （单位：万元）与生产量 $x$ 间的函数关系是 $S = {\begin{array}{l} 3 x + \frac{18}{x - 8} + 5 ， 0 < x < 6 \\ 14 ， x \geq 6 \end{array}$ .

(1)、把商品的利润表示为生产量 $x$ 的函数；

(2)、当该商品生产量 $x$ （千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？

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17. 函数 $f (x)$ 是定义在实数集 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \frac{- x}{x + 1}$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 的单调性，并给出证明；

(2)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(3)、若对任意的 $t \in [- 1 ， 1]$ ，不等式 $f (k - t^{2}) + f (2 t - 2 t^{2} - 3) > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{a x + b}$ 是定义域上的奇函数，且 $f (- 1) = - 2$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若方程 $f (x) = m$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上有两个不同的根，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、令 $h (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2 t f (x) (t < 0)$ ，若对 $\forall x_{1} ， x_{2} \in [\frac{1}{2} ， 2]$ 都有 $| h (x_{1}) - h (x_{2}) | \leq \frac{15}{4}$ ，求实数 $t$ 的取值范围.

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