陕西省咸阳市泾阳县2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2} ， B = {x | - 1 \leq x < 1 ， x \in Z}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 $[- 1 ， 2]$ D、 $[- 1 ， 2)$

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2. 若函数 $y = a^{x} - \frac{1}{2}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）恒过定点P，则点P的坐标是（）

A、 $(1 ， \frac{3}{2})$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(0 ， \frac{1}{2})$ D、 $(2 ， \frac{7}{2})$

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3. 下列函数中，在区间 $(- \infty ， 0)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = \frac{2}{x}$ B、 $y = 3 x - 7$ C、 $y = - 2 x^{2}$ D、 $y = - | x |$

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4. 函数 $y = l o g_{5} x$ 的图像与函数 $y = l o g_{0.2} x$ 的图像关于（）

A、原点对称 B、x轴对称 C、y轴对称 D、直线 $y = x$ 对称

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5. 函数 $y = l o g_{2} (2^{x} + 1)$ 的值域是（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(- \infty ， 0)$ D、 $(0 ， + \infty)$

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6. 用二分法求方程 $l o g_{8} x - \frac{1}{3 x} = 0$ 近似解时，所取的第一个区间可以是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(2 ， 4)$

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7. 在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最合适的是（）
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.51
4.04
7.51
12.03
18.01

A、 $y = 2 x - 2$ B、 $y = \frac{1}{2} (x^{2} - 1)$ C、 $y = l o g_{2} x$ D、 $y = e^{x}$

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8. 若幂函数 $y = (m^{2} - 3 m + 3) x^{m + 1}$ 在R上单调递增，则（）

A、 $1 \leq m \leq 2$ B、 $m = 1$ 或 $m = 2$ C、 $m = 2$ D、 $m = 1$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - x, x ⩾ 0, \\ x^{2} + 1, x < 0, \end{array}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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10. 在同一直角坐标系中，函数 $y = \frac{1}{a^{x}}$ ， $y = l o g_{a} (x + \frac{1}{2})$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 设函数f(x)＝x²＋x＋a(a＞0)，已知f(m)＜0，则(　　)

A、f(m＋1)≥0 B、f(m＋1)≤0 C、f(m＋1)＞0 D、f(m＋1)＜0

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12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数.例如： $[- 0.1] = - 1 ， [1.9] = 1 ， [2] = 2$ .若函数 $f (x) = x - [x]$ ，则函数 $f (x)$ 是（）

A、奇函数 B、偶函数 C、单调递增函数 D、非奇非偶函数

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x} - 1}$ 的定义域是.

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14. 若函数 $f (2 x + 1) = x + 1$ ，则 $f (1 - x) =$ .

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15. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，当 $x \in [0 ， + \infty)$ 时， $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ ，则函数 $f (x)$ 的零点个数是.

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16. 已知 $a ， b \in R$ ，且 $2^{a} = 3^{b}$ ，给出如下关系：① $a > b > 0$ ；② $a < b < 0$ ；③ $a = b = 0$ ；④ $b < a < 0$ .其中所有可能成立的序号是.

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三、解答题

17. 计算下列各式的值：

(1)、 $(\frac{1}{\sqrt{2}}) \times 2^{0.5} + π^{0} + {(\frac{1}{27})}^{- \frac{1}{3}}$ ；

(2)、 $l g 5 - l o g_{2} 3 \times l o g_{3} 2 + e^{l n 2} + l g 2$ .

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18. 已知集合 $A = {x | 1 \leq x \leq 4} ， B = {x | 3 < x < 6}$ ，全集 $U = R$ .

(1)、求 $∁_{U} (A \cap B)$ ；

(2)、求 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B)$ .

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19. 已知函数 $f (x) = a - \frac{2}{2^{x} + 1}$ .

(1)、若 $f (x)$ 为奇函数，求实数a的值；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并证明你的结论.

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20. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图像过点 $(4 ， 2)$ .

(1)、求a的值；

(2)、求不等式 $f (1 + x) < f (1 - x)$ 的解集.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 3 ， x \in [- 2 ， 3]$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最小值为a，求实数a的值.

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22. 在刚刷完漆的室内放置空气净化器，净化过程中有害气体含量P单位： $m g / L$ ）与时间t（单位：h）的关系为： $P = P_{0} e^{- k t}$ ，其中 $P_{0}$ ， k是正的常数，如果在前 $5 h$ 消除了10%的有害气体，那么

(1)、 $10 h$ 后还剩百分之几的有害气体？

(2)、有害气体减少50%需要花多少时间？（精确到 $1 h$ ）（参考数据： $l n 2 \approx 0.6931 ， l n 0.9 \approx - 0.1054$ ）

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x	1.992	3	4	5.15	6.126
y	1.51	4.04	7.51	12.03	18.01