山西省运城市2021-2022学年高一上学期数学11月期中检测试卷

试卷更新日期：2021-12-23 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 集合 $A = {x ∣ - 2 < x < 4} ， B = {x ∣ x < 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ x < 4}$ B、 ${x ∣ - 2 < x < 2}$ C、 ${x ∣ x < 2}$ D、 ${x ∣ x > - 2}$

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2. 函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x - 1}} + l g (2 - x)$ 的定义域为（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $[1 ， 2)$ C、 $(- \infty ， 1) ∪ [2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 1] ∪ (2 ， + \infty)$

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3. “ $x > 2$ ”是“ $l o g_{3} (x - 2) < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知函数 $f (\frac{4}{x - 1}) = x^{3} - 2 x$ ，则 $f (2)$ 等于（）

A、-1 B、2 C、4 D、21

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5. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) x^{2 - m}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上是增函数，则实数 $m$ 的值为（）

A、1或-3 B、3 C、-1 D、-1或3

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6. 设 $a = 3^{0.6} ， b = e^{0.6} ， c = l o g_{0.2} 0.3$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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7. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a^{x} ， x ⩾ 1 ， \\ (4 a - 2) x - 3 ， x < 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{5}{3} ， 2)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(1 ， \frac{5}{3}]$ D、 $(0 ， \frac{1}{2})$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{\frac{1}{2}} x | ， x > 0 \\ x^{2} + 2 x + 2 ， x \leq 0 \end{array}$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ 时， $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，则 $\frac{x_{4}}{x_{3}} + \frac{4}{x_{1} x_{3}^{2} + x_{2} x_{3}^{2}}$ 的取值范围为（）

A、 $(4 ， 16]$ B、 $[4 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 4)$ D、 $[- 16 ， - 4)$

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二、多选题

9. 下列命题中的真命题是（）

A、 $\forall x \in R ， 2^{x + 1} > 1$ B、 $\forall x \in R ， (x - 1)^{2} > 0$ C、 $\exists x \in R ， l g x < 1$ D、 $\exists x \in R ， x^{2} - 2 x - 3 < 0$

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10. 下列函数是减函数的是（）

A、 $y = x^{2} + 1$ B、 $y = l o g_{\frac{1}{2}} x$ C、 $y = 2^{x}$ D、 $y = 1 - 2 x$

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11. 若正实数 $m ， n$ 满足 $m + n = 2$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $m n ⩽ 1$ B、 $2^{m - n} > \frac{1}{4}$ C、 $\sqrt{m} + \sqrt{n} ⩾ 2$ D、 $m^{2} + n^{2} ⩾ 2$

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12. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + x^{3}$ ，若 $0 < m < 1 < n$ ，则下列不等式一定成立的有（）

A、 $f (1 - m) < f (n - 1)$ B、 $f (m^{n}) < f (n^{m})$ C、 $f (l o g_{m} n) > f (l o g_{n} m)$ D、 $f (2 \sqrt{m n}) < f (m + n)$

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三、填空题

13. 已知集合 $A = {1 ， 2} ， B = {- 1 ， a}$ .若 $A \cap B \neq \emptyset$ ，则实数 $a =$ .

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14. 计算 ${(\frac{1}{8})}^{- \frac{1}{3}} + 2 l o g_{2} 3 - l o g_{2} \frac{9}{8} =$ .

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15. 若函数 $y = a^{x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 在 $[2 ， 4]$ 上的最大值比最小值大 $\frac{a^{2}}{2}$ ，则 $a =$ .

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16. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $x \geq 0$ 时， $f (x) = - x^{3}$ ，若对于任意的 $x \in [t ， t + 2]$ ，不等式 $f (2 t - x) \leq \frac{1}{27} f (x)$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - x - 6 < 0} ， B = {x ∣ x^{2} - a x - 2 a^{2} < 0}$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $(∁_{R} B) ∩ A$ ；

(2)、若 $a > 0$ ，设命题 $p ： x \in A$ ，命题 $q ： x \in B$ ，已知命题 $p$ 是命题 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x - 2} (x \neq 2) ， f (0) = - \frac{1}{2} ， f (1) = - 3$ .

(1)、求实数 $a ， b$ 的值，并确定 $f (x)$ 的解析式；

(2)、试用定义证明 $f (x)$ 在 $(2 ， + \infty)$ 内单调递减.

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (x^{2} - a x + \frac{1}{4} a)$ 的定义域是 $R$ .

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $a^{x^{2} - 2 x - 10} < \frac{1}{a^{2}}$ .

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20. 某地政府为增加农民收入，根据当地地域特点，积极发展农产品加工业.经过市场调查，加工某农产品需投入固定成本3万元，每加工 $x$ 吨该农产品，需另投入成本 $f (x)$ 万元，且 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2} + 6 x ， 0 < x < 6 ， \\ 11 x + \frac{64}{x} - 25 ， x ⩾ 6 . \end{array}$ 已知加工后的该农产品每吨售价为10万元，且加工后的该农产品能全部销售完.

(1)、求加工后该农产品的利润 $y$ （万元）与加工量 $x$ （吨）的函数关系式；

(2)、求加工后的该农产品利润的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 a x + c (a > 0)$ 在区间 $[- 1 ， 3]$ 上有最大值3和最小值-1.

(1)、求实数 $a ， c$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x} - k x$ ，若不等式 $g (2^{x}) \geq 0$ 在 $x \in [- 3 ， 0)$ 上恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = a^{x} + k a^{- x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且 $f (2) = \frac{82}{9} ， g (x) = l o g_{\frac{1}{2}} (x^{2} + m x + 4)$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上的单调性，无需证明；

(3)、对于任意 $x_{1} \in R$ ，存在 $x_{2} \in [2 ， 5]$ ，使得 $f (x_{1}) ⩾ g (x_{2}) + 4$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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