山东省临沂市沂水、河东、平邑、费县四县区联考2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x + 1} + \frac{1}{x - 2}$ ，则 $f (3) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 < 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \geq 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \geq 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$

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3. 下列命题中，是全称量词命题的是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} \leq 0$ B、当 $a = 3$ 时，函数 $f (x) = a x + b$ 是增函数 C、存在平行四边形的对边不平行 D、平行四边形都不是正方形

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4. 已知集合 $A = {x | x^{3} > 1}$ ， $B = {x | \frac{1}{x} < 1}$ ，则（）

A、 $A ⊊ B$ B、 $A ⊋ B$ C、 $A = B$ D、 $A \subseteq ∁_{R} B$

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5. 已知 $a, b \in R$ ，则“ $a b = 0$ ”是“ $a^{2} + b^{2} = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为： $y = {\begin{array}{l} 3 x ， 1 \leq x < 10 ， x \in N * \\ 2 x + 10 ， 10 \leq x < 100 ， x \in N * \\ 1.5 x + 60 ， x \geq 100 ， x \in N * \end{array}$ ，其中， $x$ 代表拟录用人数， $y$ 代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为（）

A、20 B、25 C、130 D、150

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7. 我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{| x |}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足：当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + x$ ，若不等式 $f (2 t) > f (m + m t^{2})$ 对任意实数 $t$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) ∪ (1 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 0) ∪ (0 ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 1)$ D、 $(- 1 ， 0)$

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二、多选题

9. 下列选项中， $p$ 是 $q$ 的充要条件的是（）

A、 $p$ ： $x y > 0$ ， $q$ ： $x > 0$ ， $y > 0$ B、 $p$ ： $A \cup B = A$ ， $q$ ： $B \subseteq A$ C、 $p$ ：三角形是等腰三角形， $q$ ：三角形存在两角相等 D、 $p$ ：四边形是正方形， $q$ ：四边形的对角线互相垂直平分

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10. 若 $a > b > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $a b < b^{2}$ C、 $\frac{1}{\sqrt{a}} < \frac{1}{\sqrt{b}}$ D、 $a c^{2} > b c^{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 2 ， x < 1 \\ - x^{2} + 3 ， x \geq 1 \end{array}$ ，关于函数 $f (x)$ 的结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最大值为3 B、 $f (0) = 2$ C、若 $f (x) = - 1$ ，则 $x = 2$ D、 $f (x) < 2$ 的解集为 $(- \infty ， 0) \cup (1 ， + \infty)$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{1 + | x |} (x \in R)$ ，以下结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域是 $(- 1 ， 1)$ B、对任意 $x \in R$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} = f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ C、对任意 $x \in R$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ D、若规定 $f_{1} (x) = f (x)$ ， $f_{n + 1} (x) = f (f_{n} (x))$ ，其中 $n \in N *$ ，则 $f_{10} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12}$

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三、填空题

13. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足：当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{3} + x^{2}$ ，则 $f (- 2) =$ ．

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14. 已知关于 $x$ 的不等式 $\frac{m}{x} - 2 > 0$ 的解集为 $(0 ， 2)$ ，则 $m =$ ．

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15. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a b = a + b + 3$ ，则 $a + b$ 的最小值为．

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16. 要制作一个容积为 $4 m^{3}$ ，高为 $1 m$ 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米40元，侧面造价是每平方米20元，则该容器的最低总造价是元．

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四、解答题

17. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 3 < x \leq 5}$ ， $B = {x | 2 \leq x < 4}$ ．

(1)、求 $A ∩ B$ ， $A ∪ B$ ；

(2)、若集合 $C = {x | 2 x - a > 0}$ ，且 $C \subseteq ∁_{U} A$ ，求 $a$ 的取值范围．

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18. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，且 $f (x + 1) = x^{2} + 3$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 3]$ 上的值域．

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19. 已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{1 - x}{x}$ ．

(1)、若 $a > 0$ ，求 $f (- a)$ ；

(2)、当 $x < 0$ 时，求 $f (x)$ 的解析式；

(3)、若 $f (m) = \frac{1}{2}$ ，求 $m$ 的值．

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} - x + m$ ．

(1)、当 $m = - 6$ 时，解不等式 $f (x) > 0$ ；

(2)、当 $m > 0$ 时， $f (x) < 0$ 的解集为 $(a ， b)$ ，求 $\frac{a + 1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值．

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21. 已知 $m$ 是整数，幂函数 $f (x) = x^{3 m - m^{2}}$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (x) = | f (x) - 1 |$ ，画出函数 $g (x)$ 的大致图象；

(3)、写出 $g (x)$ 的单调区间，并用定义法证明 $g (x)$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 上的单调性．

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22. 国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超出800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11.2%纳税．

(1)、写出纳税金额 $y$ （元）关于稿费 $x$ （元）的函数解析式；

(2)、甲、乙两人同时各自出版了一本教学参考书，甲收到稿费并得知本次稿费收入需纳税420元，乙得知本次稿费收入恰好比甲多1200元，若乙本次稿费收入需纳税 $t$ 元，求 $t$ 的值．

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