山东省济南市章丘区2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-23 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ， $A = {2 ， 4}$ ， $B = {1 ， 3 ， 4}$ ，则 $(∁_{U} B) ∩ A =$ （）

A、 ${2}$ B、 ${4}$ C、 ${1 ， 3}$ D、 ${5 ， 6}$

查看试题解析
2. 已知 $a > b$ ，则（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $a^{3} > b^{3}$ C、 $| a | > | b |$ D、 $a c^{2} > b c^{2}$

查看试题解析
3. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， 2)$ ，则函数 $g (x) = \frac{f (x - 2)}{\sqrt{x - 3}}$ 的定义域为（）

A、 $(3 ， + \infty)$ B、 $(2 ， 4)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(- 2 ， 3)$

查看试题解析
4. 在 $△ A B C$ 中，“ $A B = A C$ ”是“ $△ A B C$ 为等腰三角形”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
5. 国庆期间，高一某班35名学生去电影院观看了《长津湖》、《我和我的父辈》这两部电影中的一部或两部.其中有23人观看了《长津湖》，有20人观看了《我和我的父辈》则同时观看了这两部电影的人数为（）

A、8 B、10 C、12 D、15

查看试题解析
6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (2 - a) x ， x < 1 ， \\ x^{a} ， x ⩾ 1 \end{array}$ 是定义在R上的增函数，则a的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1]$ B、 $[1 ， 2)$ C、 $(- \infty ， 2)$ D、 $(0 ， + \infty)$

查看试题解析
7. 数学里有一种证明方法叫做 $P r o o f w i t h o u t w o r d s$ ，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形 $A B C D$ 为矩形，三角形 $B C E$ 为等腰直角三角形，设 $A B = \sqrt{a}$ ， $B C = \sqrt{b} (a > 0 ， b > 0)$ ，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（）

A、 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b} (a > 0 ， b > 0)$ B、 $\frac{2 a b}{a + b} \leq \sqrt{a b} (a > 0 ， b > 0)$ C、 $\frac{2 a b}{a + b} \leq \sqrt{a b} (a > 0 ， b > 0)$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq 2 \sqrt{a b} (a > 0 ， b > 0)$

查看试题解析
8. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x | - 1 ， x \in [- 1 ， + \infty) \\ 2 f (x + 2) ， x \in (- \infty ， - 1) \end{array}$ ，若对任意的 $x \in [m ， + \infty)$ ，都有 $f (x) \geq - 4$ ，则m的最小值是（）

A、-4 B、-6 C、 $- \frac{13}{2}$ D、 $- \frac{11}{2}$

查看试题解析

二、多选题

9. 下列函数中，定义域和值域都是 $R$ 的是（）

A、 $y = x + 1$ B、 $y = x^{2} + 2 x - 3$ C、 $y = - \frac{1}{x}$ D、 $y = x^{3}$

查看试题解析
10. 函数 $f (x) = x | x - a |$ 的大致图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
11. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $2 a + b = 1$ ，则（）

A、 $a b ⩽ \frac{1}{8}$ B、 $\sqrt{2 a} + \sqrt{b} ⩾ \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2 a} + \frac{1}{b} ⩾ 4$ D、 $4 a^{2} + b^{2} ⩾ \frac{1}{2}$

查看试题解析
12. 已知偶函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x - 4)$ 也是偶函数，当 $x \in [0 ， 4]$ 时， $f (x) = \frac{a - x}{x + 1}$ .若 $f (- 1) + f (5) = - \frac{11}{4}$ ，则（）

A、 $f (- 1) > f (- 6)$ B、 $f (\sqrt{3}) > f (- 1)$ C、 $f (5) > f (\sqrt{3})$ D、 $f (- 6) > f (5)$

查看试题解析

三、填空题

13. 命题“ $\exists x > 0$ ， $\sqrt{x^{2}} > 0$ ”的否定是．

查看试题解析
14. 已知奇函数 $f (x)$ 满足当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} + a x$ ，且 $f (- 1) = - 1$ ，则 $a =$ .

查看试题解析
15. 某阅读平台为了吸引用户，决定对部分图书开展限时免费阅读活动．当提供免费阅读的图书为a本时，其用户人数 $f (a) = 80 [\frac{a}{3}] + 32$ （ $[a]$ 表示不大于a的最大整数）．当 $a = 100$ 时，用户人数为；若该平台想通过本次活动使用户人数不少于5000，则至少需要提供免费阅读的图书数量为．

查看试题解析
16. 形如 $f (x) = x + \frac{a}{x} (a > 0)$ 的函数，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”具有如下性质：该函数在 $(0 ， \sqrt{a})$ 上单调递减，在 $(\sqrt{a} ， + \infty)$ 上单调递增.已知函数 $f (x) = x + \frac{a}{x} (a > 0)$ 在 $[2 ， 4]$ 上的最大值比最小值大1，则 $a =$ .

查看试题解析

四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | 2 \leq x < 5}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x - 4 > 0}$ ， $C = {x | a < x < a + 6}$ .

(1)、求 $(∁_{U} A) ∪ B$ ；

(2)、若 $B ∪ C = R$ ，求 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} - 1}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上的单调性并用定义法证明；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并求 $f (x)$ 在 $[- 3 ， - 2]$ 上的值域．

查看试题解析
19. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m - 9) x^{m - 3}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若 $(2 a - 1)^{m} > (a + 2)^{m}$ ，求 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
20. 已知二次函数 $f (x) = m x^{2} + 2 m x + n (m > 0)$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上有最大值7，最小值 $- 2$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若关于x的不等式 $\frac{f (x)}{x} - k x ⩽ 0$ 在 $[\frac{1}{2} ， 2]$ 上有解，求k的取值范围．

查看试题解析
21. 1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度 $y_{1}$ （单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式 $y_{1} = 5 - a t$ （ $a > 0$ ，a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度 $y_{2}$ （单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式 $y_{2} = {\begin{array}{l} 2 \sqrt{t} ， 0 < t < 1 ， \\ 5 - \frac{4}{t} ， 1 \leq t \leq 4. \end{array}$ 现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．

(1)、若 $a = 1$ ，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；

(2)、若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围．

查看试题解析
22. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若存在正实数 $a$ ，使得对于任意 $x \in D$ ，总有 $x + a \in D$ ，且 $f (x + a) > f (x)$ ，则称 $f (x)$ 是 $D$ 上的“ $a$ 距增函数”.

(1)、判断函数 $f (x) = x^{2} + x$ 是否为 $(0 ， + ∞)$ 上的“1距增函数”，并说明理由；

(2)、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x + b$ .若 $f (x)$ 为 $R$ 上的“2021距增函数”，求 $b$ 的取值范围.

查看试题解析