高中数学人教A版（2019）选修二第五章一元函数的导数及其应用

试卷更新日期：2021-12-23 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 曲线 $y = x - \frac{2}{x}$ 在 $x = 1$ 处的切线的倾斜角为 $α$ ，则 $\frac{\cos 2 α}{1 + \tan α} =$ （）

A、-1 B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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2. 若 $x = 2$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - x - 2 \ln x$ 的极值点，则函数（）

A、有最小值 $- 2 \ln 2$ ，无最大值 B、有最大值 $- 2 \ln 2$ ，无最小值 C、有最小值 $- 2 \ln 2$ ，最大值 $2 \ln 2$ D、无最大值，无最小值

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3. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x + \ln x$ 有两个不同的极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若不等式 $f (x_{1}) + f (x_{2}) < x_{1} + x_{2} + t$ 恒成立，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $[- 4 ， + \infty)$ B、 $[- 5 ， + \infty)$ C、 $[- 6 ， + \infty)$ D、 $[- 7 ， + \infty)$

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4. 已知 $a = \sqrt{6} \ln π ， b = \sqrt{2 π} \ln 3 ， c = \sqrt{3 π} \ln 2$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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5. 已知函数 $y = \ln x$ （ $\frac{1}{e} \leq x \leq e$ ）的图象上存在点 $P$ ，函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + c$ 的图象上存在点 $Q$ ，且 $P$ 、 $Q$ 关于 $x$ 轴对称，则实数 $c$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{2} ， 1 + \frac{1}{2 e^{2}}]$ B、 $[1 + \frac{1}{2 e^{2}} ， \frac{e^{2}}{2} - 1]$ C、 $[\frac{1}{2} ， \frac{e^{2}}{2} - 1]$ D、 $[1 ， 1 + \frac{2}{2 e^{2}}]$

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6. 已知 $f (x)$ 为偶函数， $g (x)$ 为奇函数，且 $f (x) + g (x) = e^{x}$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $f^{2} (x) + g^{2} (x) = f (2 x)$ B、 $\forall x > 0$ ， $g (g (x)) > g (x)$ C、 $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，若 $\frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > λ$ ，则 $λ \leq 1$ D、 $g (x - y) = f (x) g (y) + g (x) f (y)$

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7. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的函数， $f' (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，满足： $e^{x} f (x) + (e^{x} + 1) f^{'} (x) > 0$ ，且 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，则不等式 $f (x) > \frac{e + 1}{2 (e^{x} + 1)}$ 的解集为（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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8. 若函数 $f (x) = 2 x + \frac{1}{2} \sin 2 x - a \sin x$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上恰有两个不同的极值点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\sqrt{2} ， 3)$ B、 $(2 \sqrt{2} ， 3)$ C、 $(2 \sqrt{2} ， 4)$ D、 $(\sqrt{2} ， 6)$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x^{2}}$ ，（）

A、 $f (x)$ 在 $x = \sqrt{e}$ 处取得极大值 $\frac{1}{2 e}$ B、 $f (x)$ 有两个不同的零点 C、 $f (\sqrt{2}) < f (\sqrt{π}) < f (\sqrt{3})$ D、若 $f (x) < k - \frac{1}{x^{2}}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立，则 $k > \frac{e}{2}$

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10. 下图是函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象，则下列结论正确的是（）

A、 $f (0) > f (1)$ B、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极小值点 C、 $x = - 1$ 是 $f (x)$ 的极小值点 D、 $x = - 3$ 是 $f (x)$ 的极大值点

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11. 已知函数 $f (x) = e^{x} ， g (x) = \ln \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ 下列说法正确的是（）

A、对于 $\forall m \in R ， h (x) = f (x) - g (x) + m$ 都存在零点 B、若 $\forall x > 1 ， f (a x) - a x \geq x - g (2 x) + \frac{1}{2}$ 恒成立，则正实数a的最小值为 $\frac{1}{e}$ C、若 $f (x) ， g (x)$ 图像与直线 $y = m$ 分别交于A，B两点，则 $| A B |$ 的最小值为 $2 + \ln 2$ D、存在直线 $y = m$ 与 $f (x) ， g (x)$ 的图像分别交于A，B两点，使得 $f (x)$ 在A处的切线与 $g (x)$ 在B处的切线平行

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12. 定义域在R上函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，满足 $2 f (x) < f' (x) - 2$ ， $f (1) = e^{2} - 1$ ，则下列正确的是（）

A、 $f (0) > 0$ B、 $f (2) > e^{4} - 1$ C、 $f (2021) - e f (2020) > 2 (e - 1)$ D、 $f (2021) - e^{2} f (2020) > e^{2} - 1$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \sqrt{x} - 2 x$ 的图像在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为.

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14. 已知函数 $f (x) = e^{x} \sin x - a x$ 在 $(- π ， 0)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围.

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15. 若 $m > 0$ ， $n > 0$ ，且函数 $f (x) = 8 x^{3} - m x^{2} - 2 n x + 3$ 在 $x = 1$ 处有极值，则 $m n$ 的最大值等于.

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16. 已知函数 $f (x) = (a x + 2) e^{x} - x$ ，且 $a > - 2$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，下列命题：
①存在实数 $a$ ，使得导函数 $f^{'} (x)$ 为增函数；

②当 $a > 0$ 时，函数 $f (x)$ 不单调；

③当 $- 2 < a \leq - 1$ 时，函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递减；

④当 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 有极值．

在以上命题中，正确的命题序号是．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + x - e^{x}$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \leq 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = 2 e^{x} - 2 e^{- x} + a x + b \sin x (a ， b \in R)$ .

(1)、当 $b = 0$ 时， $f (x)$ 为 $R$ 上的增函数，求 $a$ 的最小值；

(2)、若 $a > - 1 ， 2 < b < 3$ ， $f (a x - 1) + f (x - a) < 0$ ，求 $x$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = - \frac{1}{2} a x^{2} + (a - 1) x + \ln x (a < 0)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a < - 1$ 时，判断函数 $g (x) = f (x) + (x - 1) \ln x - x + 1$ 的零点个数.

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20. 已知函数 $f (x) = \ln x + m x^{2}$ ．

(1)、探究函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 1 + (1 + 2 m) x$ 在 $(0 ， e]$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = \sin x \cos x$ 的导数为 $f^{'} (x)$ ，函数 $g (x) = 2 f (x) - \sqrt{3} f^{'} (x)$ .

(1)、求 $f^{'} (x)$ ；

(2)、求 $g (x)$ 最小正周期及单调递减区间；

(3)、若 $h (x) = g (x) - a x (x \in [\frac{π}{2} ， π])$ ，不是单调函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{\cos x}{1 + \sin x} + e^{x}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、求曲线 $f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(3)、求证：当 $x \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 时， $f (x) \geq 2$ ．

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二、多选题

三、填空题

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