高中数学人教A版（2019）选修一第三章圆锥曲线的方程

试卷更新日期：2021-12-23 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 已知定点 $F_{1} (- 2 ， 0)$ ， $F_{2} (2 ， 0)$ ， $N$ 是圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 上任意一点，点 $F_{1}$ 关于点 $N$ 的对称点为 $M$ ，线段 $F_{1} M$ 的中垂线与直线 $F_{2} M$ 相交于点 $P$ ，则点 $P$ 的轨迹是（）

A、直线 B、圆 C、椭圆 D、双曲线

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2. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{15} - \frac{y^{2}}{10} = 1$ 的焦点到C的渐近线的距离为（）

A、 $\sqrt{15}$ B、 $\sqrt{10}$ C、5 D、 $2 \sqrt{5}$

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3. “ $m > 0$ 且 $n > 0$ ”是“方程 $m x^{2} + n y^{2} = 1$ 表示椭圆”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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4. 如果抛物线 $y^{2} = a x$ 的准线是直线 $x = 1$ ，那么它的焦点坐标为（）

A、（1，0） B、（2，0） C、（3，0） D、 $(- 1 ， 0)$

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5. 已知点 $A$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的上顶点， $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆左右焦点，直线 $y = a x + b (a > 0)$ 将三角形 $A F_{1} F_{2}$ 分割为面积相等两部分，则 $b$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 - \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{1}{2})$ C、 $(1 - \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{1}{3}]$ D、 $[\frac{1}{3} ， \frac{1}{2})$

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6. 过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 左焦点F作x轴的垂线，交椭圆于P，Q两点，A是椭圆与x轴正半轴的交点，且 $| P Q | = | F A |$ ，则该椭圆的离心率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，P是C上一点， $P F_{1}$ 垂直于x轴， $| P F_{1} | = 1 ， ∠ F_{1} F_{2} P = 30 °$ ，则C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ C、 $\frac{4 x^{2}}{9} + \frac{2 y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{4 x^{2}}{9} + \frac{4 y^{2}}{3} = 1$

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8. 阿基米德(公元前 $287$ 年—公元前 $212$ 年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 $C$ 的对称轴为坐标轴，焦点在 $y$ 轴上，且椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ ，面积为 $12 π ，$ 则椭圆 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{32} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

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二、多选题

9. 已知方程 $\frac{x^{2}}{4 - t}$ ＋ $\frac{y^{2}}{t - 1}$ ＝1表示的曲线为C.则以下四个判断正确的为（）

A、当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆 B、当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线 C、若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜ $\frac{5}{2}$ D、若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4

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10. 已知抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的焦点为 $F$ ， $M (x_{1} ， y_{1})$ ， $N (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）

A、点 $F$ 的坐标为 $(\frac{1}{8} ， 0)$ B、若直线 $M N$ 过点 $F$ ，则 $x_{1} x_{2} = - \frac{1}{16}$ C、若 $\vec{M F} = λ \vec{N F}$ ，则 $| M N |$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ D、若 $| M F | + | N F | = \frac{3}{2}$ ，则线段 $M N$ 的中点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $\frac{5}{8}$

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11. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 有公共焦点， $C$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且经过点 $T (\frac{\sqrt{5}}{2} ， \frac{1}{2})$ ，则下列说法正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的标准方程为 $x^{2} - y^{2} = 1$ B、若直线 $y = λ x$ 与双曲线 $C$ 无交点，则 $| λ | > 1$ C、设 $A (\sqrt{2} ， 1)$ ，过点 $B (0 ， 1)$ 的动直线与双曲线 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点（异于点 $A$ ），若直线 $A P$ 与直线 $A Q$ 的斜率存在，且分别记为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则 $k_{1} + k_{2} = \sqrt{2}$ D、若动直线 $l$ 与双曲线 $C$ 恰有1个公共点，且与双曲线 $C$ 的两条渐近线分别交于点 $M$ ， $N$ ，则 $△ O M N$ （ $O$ 为坐标原点）的面积为定值1

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12. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ， $F$ 为 $C$ 的右焦点， $A$ 为 $C$ 的左顶点， $P ， Q$ 为直线 $x + m y = 0$ 与 $C$ 的两个交点，则下列叙述正确的是（）

A、 $△$ $F P Q$ 周长的最小值为 $16$ B、 $△$ $A P Q$ 面积的最大值为 $15$ C、若 $△$ $F P Q$ 的面积为 $9$ ，则 $△$ $F P Q$ 为直角三角形 D、若直线 $A P$ 与 $A Q$ 的斜率之积为 $- \frac{9}{25}$ ，则 $△$ $A P Q$ 为等腰三角形

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三、填空题

13. 抛物线 $x^{2} = a y (a > 0)$ 上的点 $M (m ， 1)$ 到其准线 $l$ 的距离为2，则 $a =$ ．

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14. 设抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线 $l$ 与抛物线相交于 $A$ ， $B$ 两点，若以 $A B$ 为直径的圆过点 $(- \frac{p}{2} ， 2)$ ，则该抛物线的方程为．

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15. 双曲线 $\frac{x^{2}}{9}$ － $\frac{y^{2}}{16}$ ＝1的两个焦点为F₁ ， F₂ ，点P在双曲线上，若 $\overset{⇀}{P F_{1}} \cdot \overset{⇀}{P F_{2}}$ ＝0，则点P到x轴的距离为．

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16. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，定点 $A (2 ， \sqrt{5})$ ，点 $P$ 是椭圆 $E$ 上的动点，则 $| P A | + | P F_{1} |$ 的最大值是．

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四、解答题

17. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为F(c，0)．

(1)、若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；

(2)、以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为 $- \sqrt{3}$ ，求双曲线的离心率．

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18. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，其离心率是 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求橢圆 $C$ 的方程；

(2)、若过点 $P (0 ， 1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于两个不同的点 $M$ 、 $N$ ，且 $| M N | = \frac{24}{7}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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19. 如图，已知圆 $A$ ： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ，点 $B (1 ， 0)$ 是圆A内一个定点，点P是圆上任意一点，线段BP的垂直平分线 $l_{1}$ 和半径AP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线C.

(1)、求曲线C的方程；

(2)、已知经过A的直线 $l_{2}$ 与曲线 $C$ 相交于M，N两点，求 $△ B M N$ 面积的最大值，并求出此时直线 $l_{2}$ 的方程.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ．离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点 $G (0 ， 2)$ 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $y = k x + m$ 与椭圆 $C$ 交于 $M ， N$ 两点， $O$ 为坐标原点直线 $O M ， O N$ 的斜率之积等于 $- \frac{3}{4}$ ，试探求 $△ O M N$ 的面积是否为定值，并说明理由．

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21. 如图，椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左顶点为 $T (- 2 ， 0)$ ，直线l： $y = k x (k \neq 0)$ 与椭圆C相交于A，B两点，当 $k = 1$ 时， $| A B | = \frac{4 \sqrt{42}}{7}$ ，过椭圆C右焦点F且斜率为 $- k$ 的直线 $M N$ 与直线 $T A$ ， $T B$ 分别相交于点M，N（点M，N均不在坐标轴上）．

(1)、求椭圆C的方程：

(2)、设直线 $O M$ ， $O N$ （O为坐标原点）的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ．问 $k_{1} \cdot k_{2}$ 是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

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22. 已知椭圆 $C$ 焦点在 $x$ 轴，离心率为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，且过点 $(3 ， 0)$

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设直线 $l ： x = k y + m$ 与轨迹 $M$ 交于 $A ， B$ 两点，若以 $A B$ 为直径的圆经过定点 $C (3 ， 0)$ ，求证：直线 $l$ 经过定点 $Q$ ，并求出 $Q$ 点的坐标；

(3)、在（2）的条件下，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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