高中数学人教A版（2019）选修二第四章数列

试卷更新日期：2021-12-22 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，若a₁> 0，S₃ =S₁₀ ，则S_n取最大值时n的值为（）

A、6 B、7 C、6 或7 D、7 或8

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2. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{8} = 4 a_{3}$ ， $a_{7} = - 2$ ，则 $a_{9} =$ （）

A、-6 B、-4 C、-2 D、2

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3. 已知公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3}^{2} = a_{1} a_{4}$ ， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $\frac{S_{3}}{S_{1}}$ 的值为（）

A、 B、 C、 $\frac{3}{2}$ D、

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = \sqrt{4 n + 1} (n \in N^{*})$ ，将数列 ${a_{n}}$ 中的整数从小到大排列得到新数列 ${b_{n}}$ ，则 ${b_{n}}$ 的前100项和为（）

A、9900 B、10200 C、10000 D、11000

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5. 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至､大寒､雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（）

A、6.5尺 B、13.5尺 C、14.5尺 D、15.5尺

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6. 我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数值剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所以被3除余2的自然数从小到大组成数列 ${a_{n}}$ ，所有被5除余2的自然数从小到大组成数列 ${b_{n}}$ ，把 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的公共项从小到大得到数列 ${c_{n}}$ ，则（）

A、 $a_{3} + b_{5} = c_{3}$ B、 $b_{28} = c_{10}$ C、 $a_{5} b_{2} > c_{8}$ D、 $c_{9} - b_{9} = a_{26}$

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = S_{n}$ ，若 $a_{n} \in (0 ， 2020)$ ，则称项 $a_{n}$ 为“和谐项”，则数列 ${a_{n}}$ 的所有“和谐项”的平方和为（）

A、 $\frac{1}{3} \times 4^{11} + \frac{8}{3}$ B、 $\frac{1}{3} \times 4^{11} - \frac{4}{3}$ C、 $\frac{1}{3} \times 4^{10} + \frac{8}{3}$ D、 $\frac{1}{3} \times 4^{12} - \frac{4}{3}$

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8. 定义在 $[0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：当 $0 ⩽ x < 2$ 时， $f (x) = - x^{3} + 3 x - 1$ ；当 $x ⩾ 2$ 时， $f (x) = 3 f (x - 2)$ .记函数 $f (x)$ 的极大值点从小到大依次记为 $a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{n} ， \dots$ ，并记相应的极大值为 $b_{1} ， b_{2} ， \dots ， b_{n} ， \dots$ ，则 $a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} + \dots + a_{18} \cdot b_{18}$ 的值为（）

A、 $18 \times 3^{19} + 1$ B、 $18 \times 3^{18} + 1$ C、 $17 \times 3^{17} + 1$ D、 $17 \times 3^{18} + 1$

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二、多选题

9. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.若 $S_{n} = 2 a_{n} + \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $S_{6} = a_{7}$ B、 $a_{n} = 2^{n - 2}$ C、 $a_{8} = 4 a_{5} + a_{7}$ D、数列 ${a_{n}}$ 为递减数列

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10. 已知 $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，下列结论一定成立的是（）

A、若 $a_{3} > 0$ ，则 $a_{2021} > 0$ B、若 $a_{4} > 0$ ，则 $a_{2021} < 0$ C、若 $a_{3} > 0$ ，则 $S_{2021} > 0$ D、若 $a_{4} > 0$ ，则 $S_{2021} > 0$

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11. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{3} = 10$ ， $a_{11} = - 6$ ， $S_{n}$ 是其前 $n$ 项和，则（）．

A、 $a_{7} = 2$ B、 $S_{10} = 54$ C、 $d = - 2$ D、 $\frac{S_{7}}{7} > \frac{S_{8}}{8}$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 a_{1} + 4 a_{3} = S_{7}$ ，则以下结论正确的有（）

A、 $a_{14} = 0$ B、 $S_{14}$ 最小 C、 $S_{11} = S_{16}$ D、 $S_{27} = 0$

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三、填空题

13. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{5} = 10$ ， $a_{8} = 3 a_{3}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前10项的和等于.

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14. 已知 $△ A B C$ 的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则这个三角形的周长为.

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15. 一个球从256米的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半，当它第6次着地时，共经过的路程是米 $.$

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16. 如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行，数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依此类推，则第20行从左至右算第4个数字为.

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四、解答题

17. 记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} = 4 a_{n} + 1$ ．设 $b_{n} = a_{n + 1} - 2 a_{n}$ ．
（Ⅰ）证明：数列 ${b_{n}}$ 为等比数列；

（Ⅱ）设 $c_{n} = | b_{n} - 100 |$ ， $T_{n}$ 为数列 ${c_{n}}$ 的前n项和，求 $T_{10}$ ．

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18. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{2} + a_{3} = 8$ ， $S_{9} = 81$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $S_{3}, a_{14}, S_{m}$ 成等比数列，求 $S_{2 m}$ .

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19. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{n} > 0$ ， $a_{n}^{2} + 2 a_{n} = 4 S_{n} + 3$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

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20. 设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $s_{n}$ .已知. $2 s_{n} = 3^{n} + 3$ .(1)求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式(2)若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{n} b_{n} = \log_{3} a_{n}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{n} b_{n} = \log_{3} a_{n}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{n^{2} + n}{2}$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = 2^{a_{n}} + {(- 1)}^{n} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和.

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22. 已知{ $a_{n}$ }是公差不为0的等差数列，其中a₁＝1，且a₂ ， a₃ ， a₆成等比数列．

(1)、求数列{ $a_{n}$ }的通项公式；

(2)、记 $S_{n}$ 是数列{ $a_{n}$ }的前n项和，是否存在n∈N﹡，使得 $S_{n}$ ＋9n＋80＜0成立?若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．

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高中数学人教A版（2019） 选修二 第四章 数列

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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