江苏省宿迁市沭阳县2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x \in R | - 1 < x < 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0 ， 2]$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 $(- 1 ， 3)$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 命题 $p$ ： $\exists x \in R$ ， $x + 2 \leq 0$ ，则命题 $p$ 的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x + 2 > 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x + 2 \leq 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x + 2 \geq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x + 2 > 0$

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3. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x ， x \leq - 1 \\ x + \frac{2}{x} - 7 ， x > - 1 \end{array}$ ，则 $f [f (- 2)] =$ （）

A、-2 B、2 C、-4 D、4

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4. 为了增强学生体质，培养学生顽强拼搏的意志品质，某学校举行田径运动会，某班60名学生中有三分之一的学生参加了比赛，其中参加田赛的有14人，参加径赛的有18人，则该班田赛和径赛都参加的学生人数为（）

A、7 B、8 C、10 D、12

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5. 若 $a < b < 0$ ，则有（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $0 < \frac{a}{b} < 1$ C、 $a b > b^{2}$ D、 $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$

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6. 设 $a ， b ， c \in R$ ，若不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集是 ${x | - 2 < x < 1}$ ，则关于 $x$ 的不等式 $b (x^{2} + 3) - a (x + 3) + c > 0$ 的解集为（）

A、 ${x | - 2 < x < 1}$ B、 ${x | - 1 < x < 2}$ C、 ${x | x < - 1$ 或 $x > 2}$ D、 ${x | x < - 2$ 或 $x > 1}$

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7. 我们知道：任何一个正实数 $N$ 可以表示成 $N = a \times 1 0^{n} (1 \leq a < 10 ， n \in Z)$ ，此时 $l g N = n + l g a (0 \leq l g a < 1)$ ．当 $n > 0$ 时， $N$ 是 $n + 1$ 位数．则 $2^{150}$ 是（）位数（其中 $l g 2 \approx 0.3010$ ）

A、43 B、44 C、45 D、46

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8. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x - 1 | + 1 ， x \leq 1 \\ 1 ， x > 1 \end{array}$ ，则满足 $f (x + 1) < f (2 x)$ 的 x 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}]$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ D、 $(- \frac{1}{2} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 下列各组中表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = | x | ， g (x) = \sqrt{x^{2}}$ B、 $f (x) = x ， g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$ C、 $f (x) = x + 1 ， g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ D、 $f (x) = \frac{(\sqrt{x})^{2}}{x} ， g (x) = \frac{x}{(\sqrt{x})^{2}}$

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10. 下列各式最小值正确的有（）

A、 $y = x + \frac{1}{x}$ 的最小值为2 B、当 $a b > 0$ 时， $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 的最小值为2 C、当 $a > 0 ， b > 0$ 时， $(a + \frac{1}{a}) (b + \frac{1}{b})$ 的最小值为4 D、 $y = \frac{x^{2} + 3}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ 的最小值为2

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11. 下列选项中，关于x的不等式 $a x^{2} + (a - 1) x - 2 > 0$ 有实数解的充分不必要条件的有（）

A、 $a = 0$ B、 $a \geq - 3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $a > 0$ D、 $a \leq - 3 - 2 \sqrt{2}$

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12. 为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查.经整理绘制了如图所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间（单位：周），纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量（单位：吨）.根据统计图分析，下列结论正确的是（）

A、当 $x \in [0 ， 2)$ 时有害垃圾错误分类的重量加速增长 B、当 $x \in [2 ， 4)$ 时有害垃圾错误分类的重量匀速增长 C、当 $x \in [4 ， 6)$ 时有害垃圾错误分类的重量相对于当 $x \in [2 ， 4)$ 时增长了 $30 %$ D、当 $x \in [6 ， 8]$ 时有害垃圾错误分类的重量相对于当 $x \in [0 ， 2)$ 时减少了1.8吨

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三、填空题

13. 已知 $a \in R$ ，若 $l o g_{a} 2 = 2$ ，则 $a$ 的值为

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14. 若命题“ $\exists x \in R ， x^{2} + 3 ≤ m$ ”为假命题，则满足条件的一个自然数 $m$ 的值为

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15. 函数 $f (x) = a x | a - x |$ $(a \in R)$ 在区间 $(- \infty ， 1)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围

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16. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为 $x$ 米，宽为 $y$ 米．若菜园面积为 $50$ 平方米，则所用篱笆总长的最小值为；若使用的篱笆总长度为 $30$ 米，则 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为

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四、解答题

17. 已知 ${3}$ $B \subseteq {3 ， 4 ， 5}$ ，写出一个满足条件的集合 $B$ ，补充在下列问题中的横线上，并求出问题的解．
问题：已知 $U = {x | x \in N^{*}$ ，且 $x < 10}$ ， $A = {x | x$ 是小于 $10$ 的正偶数} ▲ ．求 $A ∪ B$ ， $A ∩ (∁_{U} B)$ ．

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18.

(1)、计算： $e^{l n 2} + 2 l g 4 + l g \frac{5}{8} - {(0.125)}^{- \frac{2}{3}}$ ；

(2)、已知 $\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} = 3$ ，计算 $\frac{a^{\frac{3}{2}} - a^{- \frac{3}{2}}}{a + a^{- 1}}$ 的值．

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19. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 0 \leq x \leq 4}$ ，集合 $B = {x | 2 - a \leq x \leq 1 + 2 a}$ ，其中 $a \in R ．$

(1)、若命题“ $\forall x \in A$ ， $x \in B$ ”是真命题，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要条件，求 $a$ 的取值范围．

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20. 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为40 km/h的弯道上，现场勘查测得一辆事故汽车的刹车距离略超过10米．已知这种型号的汽车的刹车距离 $s$ （单位：m）与车速 $x$ （单位：km/h）之间满足关系式 $s = a x^{2} + b x$ ，其中 $a ， b$ 为常数．试验测得如下数据：
车速 $x$ km/h
20
100
刹车距离 $s$ m
3
55

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、请你判断这辆事故汽车是否超速，并说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{x} ．$

(1)、证明函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数；

(2)、当 $x \geq 1$ 时，不等式 $f (a \sqrt{x} + 1) - f (2 x^{\frac{3}{2}}) < 0$ 恒成立，求正实数 $a$ 的取值范围．

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22. 设 $m ， n \in R$ ，已知二次函数 $f (x) = x^{2} + m x + 1 + n$ ．若关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $(x_{1} ， x_{2})$ ，且 $x_{1} + x_{2} = - 2$ ．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若 $x_{1} ， x_{2}$ 均小于 $0$ ，求 $n$ 的取值范围；

(3)、若对任意的 $x \in R ， f (f (x)) ≥ 0$ 恒成立，求 $n$ 的取值范围．

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车速 $x$ km/h	20	100
刹车距离 $s$ m	3	55