河南省洛阳市2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 2 ， 4 ， 5 ， 6}$ ， $B = {x \in N * | x^{2} - 4 x - 5 < 0}$ ，则集合 $A ∩ B =$ （）

A、 ${2 ， 4}$ B、 ${0 ， 2 ， 4}$ C、 ${2 ， 4 ， 5}$ D、 ${0 ， 2 ， 4 ， 5}$

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2. 设 $A$ ， $B$ 是两个集合，则“ $A \subseteq B$ ”是“ $A \cup B = B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 存在量词命题 $p :$ “ $\exists x \in R, x^{2} - 2 x + 2 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R, x^{2} - 2 x + 2 \geq 0$ B、 $\exists x \in R, x^{2} - 2 x + 2 > 0$ C、 $\forall x \in R, x^{2} - 2 x + 2 > 0$ D、 $\forall x \in R, x^{2} - 2 x + 2 \leq 0$

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4. 下列函数在定义域上既是奇函数又是减函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x}$ C、 $f (x) = \sqrt{5} x$ D、 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， x \leq 0 \\ - x^{2} ， x > 0 \end{array}$

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5. 下列不等式中成立的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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6. 函数 $f (x) = \sqrt{4 x - x^{2} - 3} + \frac{2}{x^{2} - 4}$ 的定义域为（）

A、 $[1 ， 2) \cup (2 ， 3]$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 2) ∪ (- 2 ， 1)$ D、 $[1 ， 3]$

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7. 学习了函数的概念后，对于构成函数的要素：定义域､对应关系和值域，甲､乙､丙三个同学得出了各自的判断：
甲：存在函数 $f (x)$ ， $g (x)$ ，它们的定义域相同，值域相同，但对应关系不同；
乙：存在函数 $f (x)$ ， $g (x)$ ，它们的定义域相同，对应关系相同，但值域不同；
丙：存在函数 $f (x)$ ， $g (x)$ ，它们的对应关系相同，值域相同，但定义域不同.
上述三个判断中，正确的个数是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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8. 函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 若 $\frac{2}{5} < {(\frac{2}{5})}^{n} < {(\frac{2}{5})}^{m} < 1$ ，则（）

A、 $m^{n} < m^{m} < n^{m}$ B、 $m^{m} < n^{m} < m^{n}$ C、 $m^{m} < m^{n} < n^{m}$ D、 $m^{n} < n^{m} < m^{m}$

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10. 已知关于 $x$ 的不等式 $- x^{2} + 3 a x - 2 a^{2} \geq 0 (a > 0)$ 的解集为 $[m ， n]$ ，则 $m + n + \frac{2 a}{m n}$ 的最小值是（）

A、4 B、 $2 \sqrt{6}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x ， x \geq - 2 \\ - \frac{1}{2 x} + 3 a ， x < - 2 \end{array}$ ，若 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{15}{4} ， - \frac{1}{2}]$ B、 $[- 2 ， - \frac{4}{15}]$ C、 $(- \infty ， - 2]$ D、 $[- \frac{15}{4} ， - 2]$

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12. 已知函数 $f (x) (x \in R)$ 满足 $f (x + 2)$ 是偶函数，若函数 $y = | x^{2} - 4 x - 5 |$ 与函数 $y = f (x)$ 图象的交点为 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， ⋯ ， (x_{n} ， y_{n})$ ，则横坐标之和 $x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n} =$ （）

A、 $4 n$ B、 $2 n$ C、 $n$ D、2

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = a^{x} + 2 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象一定经过点.

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 1 ， & x \leq 0 \\ \frac{x}{2} + 1 ， & x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 3)) =$ .

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15. 正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是.

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16. 对于函数 $f (x) = \frac{x (| x | + 1)}{x^{2} - 1}$ ，给出了下列结论，
① $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称；
②对 $\forall x_{1} ， x_{2} \in (- 1 ， 1)$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ；
③ $f (x)$ 的值域为 $R$ ；
④方程 $f (x) - x^{3} = 0$ 有3个实根.
其中正确的结论有（填序号）

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三、解答题

17.

(1)、计算 $(\sqrt{5} - 2)^{0} + (\sqrt[3]{3} \times \sqrt{2})^{6} + {(\frac{1}{16})}^{- \frac{1}{4}}$ ；

(2)、若 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = \sqrt{5}$ ，求 $\frac{x + x^{- 1} - 1}{x^{2} + x^{- 2} + 3}$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = (a^{2} - a - 1) x^{a}$ （ $a$ 是常数）为幂函数，且 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增.

(1)、求 $f (x)$ 的表达式；

(2)、判断函数 $g (x) = \frac{f (x) + 4}{x}$ 在 $(2 ， + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明.

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19. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x + 2 \leq 0}$ ，集合 $B = {y | y = {(\frac{1}{2})}^{x} ， x > k}$ .

(1)、当 $k = - 1$ 时，求 $A ∪ B$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求 $k$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在坐标系中画出函数 $f (x)$ 的图象；

(3)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， m - 3]$ 上单调递增，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 随着科技的发展，移动互联已进入全新的 $5 G$ 时代，远程实时遥控已成为现实.某无人机生产厂家计划在2022年将新技术应用到生产中去，经过市场调研分析，生产某种型号的无人机全年需投入固定成本300万元，每生产 $x$ 千台无人机，需投入成本 $G (x)$ 万元，且 $G (x) = {\begin{array}{l} 5 x^{2} + 200 x ， 0 < x < 50 \\ 602 x + \frac{20000}{x} - 9000 ， x \geq 50 \end{array}$ 由市场调研知，每台无人机售价为0.6万元，且全年内生产的无人机当年能全部售完.

(1)、求出2022年的利润 $W (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （千台）的函数关系式（利润 $=$ 销售额-成本）；

(2)、2022年产量为多少时，该厂家所获利润最大？最大利润为多少？

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22. 已知函数 $g (x)$ 是指数函数，且该函数的图象过点 $(- 1 ， \frac{1}{2})$ ，设 $f (x) = \frac{m - g (x)}{1 + g (x)}$ 是定义在 $R$ 上的奇函数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若集合 ${x | f (x) = a} \neq \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若对任意的 $x \in [0 ， + \infty)$ ，不等式 $f (g^{2} (x) + 2 k g (x)) + f (- 2 g^{2} (x) - 4) > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.（其中 $g^{2} (x) = g (x) \cdot g (x)$ ）

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