福建省南平市浦城县2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | | x | \leq 1 ， x \in R}$ ， $B = {y | y = x^{2} ， x \in R}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 1 \leq x \leq 1}$ B、 ${x | x \geq 0}$ C、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$ D、 $\emptyset$

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2. 命题 $" \exists x_{0} \in R ， x_{0}^{3} - x_{0}^{2} + 1 \leq 0 "$ 的否定是（）

A、 $\forall x_{0} \in R ， x_{0}^{3} - x_{0}^{2} + 1 > 0$ B、 $\exists x_{0} \in R ， x_{0}^{3} - x_{0}^{2} + 1 < 0$ C、 $\exists x_{0} \in R ， x_{0}^{3} - x_{0}^{2} + 1 \geq 0$ D、 $\forall x_{0} \in R ， x_{0}^{3} - x_{0}^{2} + 1 \leq 0$

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3. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{4 - x}}{x + 1}$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty ， 4]$ B、 $(- \infty ， - 1) ∪ (- 1 ， 4]$ C、 $[4 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 4] ∪ [1 ， + \infty)$

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4. 设 $a = {(\frac{4}{5})}^{0.3}$ ， $b = {(\frac{5}{4})}^{0.2}$ ， $c = l o g_{\frac{1}{2}} 1$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b > a > c$ B、 $c > a > b$ C、 $a > b > c$ D、 $b > c > a$

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5. 函数 $y = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若函数 $f (x) = \ln x - \frac{1}{x} + a$ 在区间 $(1 ， e)$ 上存在零点，则常数a的取值范围为（）

A、 $0 < a < 1$ B、 $\frac{1}{e} < a < 1$ C、 $\frac{1}{e} - 1 < a < 1$ D、 $\frac{1}{e} + 1 < a < 1$

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7. 已知函数y＝log₂(x²－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是(　　)

A、0＜k＜1 B、0≤k＜1 C、k≤0或k≥1 D、k＝0或k≥1

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8. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的图象关于 $x = 2$ 对称，且 $f (x)$ 满足：对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (- \infty, 2]$ ，且 $(x_{1} \neq x_{2})$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，且 $f (4) = 0$ ，则关于 $x$ 的不等式 $\frac{f (x)}{x} < 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, 0) \cup (4, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0) \cup (0, 4)$ C、 $(0, 2) \cup (4, + \infty)$ D、 $(0, 2) \cup (2, 4)$

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二、多选题

9. 下列函数中，既是偶函数，又在（0，＋∞）单调递增的函数是（）

A、 $y = \frac{2}{x}$ B、 $y = - x^{2} + 1$ C、 $y = | x | + 1$ D、 $y = 2^{| x |}$

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10. 下列命题正确的是（）

A、 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$ 且 $c > 0 \Rightarrow a > b$ ； B、 $a > b$ 且 $c > d \Rightarrow a c > b d$ ； C、 $a > b > 0$ 且 $c > d > 0 \Rightarrow \sqrt{\frac{a}{d}} > \sqrt{\frac{b}{c}}$ ； D、 $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}} \Rightarrow a > b$ ．

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11. 下列四个结论中正确的是（）

A、“ $b^{2} - 4 a c < 0$ ”是“ $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的函数值恒小于0”的充要条件 B、“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + x + \frac{1}{4} \neq 0$ ”的否定为“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x + \frac{1}{4} = 0$ ” C、函数 $y = 2 x^{2} - 4 x - 3 (0 ≤ x < 3)$ 的值域是 ${y | - 5 \leq y < 3}$ D、函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上单调递增

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12. 对于函数 $f (x) = x + \frac{9}{x}$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $f (x)$ 在定义域内是奇函数 B、函数 $f (x)$ 的值域是 $(- \infty ， - 6] \cup [6 ， + \infty)$ C、 $\forall x_{1} ， x_{2} \in (0 ， 3)$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ D、对任意 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{1}{2} [f (x_{1}) + f (x_{2})]$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = a^{x - 3} - 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象必过定点.

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14. 函数 $y = - l o g_{2} (x^{2} - 5 x - 6)$ 的单调递增区间为.

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15. 若不等式 $x^{2} - l o g_{m} x < 0$ 在区间 $(0 ， \frac{1}{2})$ 上恒成立，则实数m的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 - | x | ， (x \leq 2) \\ {(x - 2)}^{2} ， (x > 2) \end{array}$ ，函数 $g (x) = b - f (2 - x)$ ，若函数 $y = f (x) - g (x)$ 恰有4个零点，则实数 $b$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 求下列各式的值：

(1)、 ${(\frac{16}{81})}^{- \frac{1}{4}} + {(\sqrt[3]{12})}^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{{(\sqrt{3} - 2)}^{2}}$ ；

(2)、 $l g 45 - 2 l g 6 - 3 l g \frac{1}{2} + l o g_{4} 3 \cdot l o g_{9} 16$ ．

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18. 已知 $f (x) = 2 x^{2} + b x + c$ ，不等式 $f (x) < 0$ 的解集是 $(0 ， 3)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若对于任意 $x \in [- 1$ ， $2]$ ，不等式 $f (x) + t ⩽ 2$ 恒成立，求 $t$ 的取值范围.

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19. 已知集合 $A = {x | x^{2} - (m + 2) x + (1 - m) (2 m + 1) \leq 0}$ .集合 $B = {x | y = \sqrt{(\frac{1}{9} - 3^{x}) (3^{x} - 81)}}$ .
（Ⅰ）当 $m = 1$ 时，求 $A ∪ B$ ；
（Ⅱ）若 $B \subseteq A$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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20. 根据试验检测，一辆 $P$ 型运输汽车在高速公路.上匀速行驶时，耗油率（L/h）近似与车速（km/h）的平方成正比，且当车速是100km/h时，耗油率为 $\frac{125}{8} L / h .$ 已知 $A$ ， $B$ 两地间有一条长130km的高速公路，最低限速60km/h，最高限速120km/h.若某环保公司用一辆该型号运输车将垃圾从 $A$ 地转运至 $B$ 地，已知过路费为40元，支付给雇用司机的工资平均每小时80元.假设汽油的价格是8元/L，汽车匀速行驶（起步､必要的减速或提速等忽略不计），问：当行车速度为多少时，转运一次的总费用最低?最低为多少元?

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a x + 4}{x}$ 为奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求证： $f (x)$ 在区间 $[2 ， + \infty)$ 上是增函数；

(3)、若对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [2 ， 4] ，$ 都有 $f (x_{1}) - f (x_{2}) \leq m^{2} - 2 m - 2 ，$ 求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 设 $f (x)$ 是 $R$ 上的减函数，且对任意实数 $x$ ， $y$ ，都有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ；函数 $g (x) = x^{2} + a x + b (a ， b \in R)$

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并证明你的结论；

(2)、若 $a = - 1 ， b = 5$ ，且存在 $t \in [- 3 ， 2]$ ，不等式 $f (g (t) - 1) + f (3 t + m) > 0$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

(3)、当 $a > 0$ 时，若关于 $x$ 的不等式 $g (x) \leq 0$ 与 $g (g (x)) \leq 3$ 的解集相等且非空，求 $a$ 的取值范围.

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