福建省福州市八县（市、区）一中2021-2022学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-12-22 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 下列关系中，正确的有（）

A、 $\emptyset$ ${0}$ B、 ${0 ， 1} = {(0 ， 1)}$ C、 $Q \in Z$ D、 ${0} \in {0 ， 1 ， 2}$

查看试题解析
2. 命题“ $\exists x > 0$ ， $x + \frac{1}{x} \leq 3$ ”的否定是（）

A、 $\exists x > 0$ ， $x + \frac{1}{x} > 3$ B、 $\exists x \leq 0$ ， $x + \frac{1}{x} \leq 3$ C、 $\forall x \leq 0$ ， $x + \frac{1}{x} > 3$ D、 $\forall x > 0$ ， $x + \frac{1}{x} > 3$

查看试题解析
3. 下列函数表示同一个函数的是（）

A、 $s = 350 t$ ，与 $w = 350 d$ B、 $f (x) = x$ ，与 $g (x) = \frac{x^{2}}{x}$ C、 $f (x) = 1$ ，与 $g (x) = x^{0}$ D、 $y = | x |$ ，与 $y = {\begin{array}{l} x ， (x > 0) \\ - x ， (x < 0) \end{array}$

查看试题解析
4. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 x ， x > 0 \\ 2^{x} ， x \leq 0 \end{array}$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} 0 ， x 为无理数 \\ 1 ， x 为有理数 \end{array}$ ，则 $f (g (π)) =$ （）

A、2 B、0 C、1 D、3

查看试题解析
5. 若 $a ， b ， c \in R$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ C、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{b}{a - b} > \frac{c}{a - c}$ D、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c}$

查看试题解析
6. 若某商店将进货单价为6元的商品按每件10元出售.则每天可销售100件.现准备采用提高售价、减少进货量的方法来增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就要减少10件，那么要保证该商品每天的利润在450元以上，售价应定为（）

A、11元 B、11元到15元之间 C、15元 D、10元到14元之间

查看试题解析
7. 已知函数 $f (x)$ 是一次函数，且 $f [f (x) - 4 x] = 5$ 恒成立，则 $f (2) =$ （）

A、1 B、3 C、7 D、9

查看试题解析
8. 定义在R上的奇函数 $f (x)$ 为减函数，偶函数 $g (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上的图象与 $f (x)$ 的图象重合，设 $a > b > 0$ ，有下列不等式：
⑴ $f (b) - f (- a) < g (a) - g (- b)$        ⑵ $f (b) - f (- a) > g (a) - g (- b)$
⑶ $f (a) - f (- b) > g (b) - g (- a)$       ⑷ $f (a) - f (- b) < g (b) - g (- a)$
其中成立的是（    ）

A、（1）与（3） B、（1）与（4） C、（2）与（3） D、（2）与（4）

查看试题解析
9. 若 $a = 1$ ， $b = {(0.5)}^{3}$ ， $c = {(5)}^{0.3}$ ，则下列关系判断正确的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b > a > c$ D、 $a > c > b$

查看试题解析

二、多选题

10. 下列函数是奇函数的是（）

A、 $f (x) = 2^{| x |}$ B、 $f (x) = \frac{4^{x} - 1}{2^{x}}$ C、 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x ， x \geq 0 \\ - x^{2} + 2 x ， x < 0 \end{array}$ D、 $f (x) = x^{3}$

查看试题解析
11. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (2 a - 1) x + 3 a ， x < 1 \\ a^{x} ， x \geq 1 \end{array}$ ，满足对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立的充分不必要条件是（）

A、 $0 < a < \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4} \leq a < \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4} < a < \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3} < a < \frac{1}{2}$

查看试题解析
12. 高斯是德国著名的数学家.近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字自名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如 $[- 4.5] = - 5$ ， $[3.2] = 3$ ，已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} - \frac{2^{x}}{2^{x} + 1}$ ， $g (x) = [f (x)]$ ，则下列叙述中错误的是（）

A、 $g (x)$ 为减函数 B、 $g (x)$ 为奇函数 C、 $g (x)$ 为偶函数 D、 $g (x)$ 的值域是 ${- 1 ， 0}$

查看试题解析

三、填空题

13. 函数 $f (x) = {(x - 1)}^{0} + \frac{1}{\sqrt{3 - x}}$ 的定义域为.

查看试题解析
14. 已知命题 $\forall x \in R$ ， $a x^{2} - 3 a x - 9 < 0$ 恒成立，则 $a$ 取值范围为.

查看试题解析
15. 若正数a、b满足 $a + 4 b = a b$ ，则 $a + b$ 的最小值是.

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = x + \frac{m}{x} (m > 0)$ ， $x \in [\frac{1}{2} ， 1]$ ，在函数 $f (x)$ 的值域上任取三个数，都存在以这三个数为边长的三角形，求实数 $m$ 的取值范围为.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知全集为R，集合 $A = {x | 5 - m < x < m}$ ， $B = {x | 2 < x \leq 10}$ .

(1)、若 $m = 6$ ，求 $A ∪ B$ ， $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若“ $x \in B$ ”是“ $x \in A$ ”的充分条件，求实数m的取值范围.

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + 2$ ， $a ， b \in R$ .

(1)、若 $f (x) < 0$ 的解集为 $(1 ， 2)$ ，求 $a + b$ 的值；

(2)、当 $a > 0$ 时，且 $f (- 2) = 0$ ，若 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in [1 ， 2]$ ， $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq 8$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
19. 已知函数 $f (x) = a \cdot 2^{x} + b$ ，幂函数 $g (x) = (m^{2} - 3) x^{\frac{m}{3}}$ ，且函数 $f (x)$ 的图像过点 $(0 ， 0)$ ，当 $x$ 趋向于负无穷大时， $f (x)$ 的图像无限接近于直线 $y = - 1$ 但又不与该直线相交：函数 $g (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增.

(1)、分别求出 $f (x)$ ， $g (x)$ 的解析式，并在同一直角坐标系中作出两函数的草图；

(2)、定义 $\forall x \in R$ ， $m (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的最小者，记为 $m (x) = m i n {f (x) ， g (x)}$ ，例如，当 $x = 2$ 时 $m (2)$ 表示 $f (2)$ ， $g (2)$ 中的最小者.请结合（1）中的两个函数图象分别用图象法（草图）与解析法表示 $m (x)$ .

查看试题解析
20. 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d \in R$ .

(1)、试比较 $(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2})$ 与 ${(a c + b d)}^{2}$ 的大小，并给出证明；

(2)、利用（1）的结论求函数 $f (x) = \sqrt{3 - x} + \sqrt{5 + x}$ 的最大值.

查看试题解析
21. 如图，已知 $△ A B C$ 中 $A B = A C = 10$ ， $B C = 16$ ，点P从B点沿线段BC运动到C点，过P做BC的垂线L，与折线B-A-C交于M点，记直线L右侧阴影部分的多边形为Ω，设BP=4x，Ω的面积为 $S (x)$ ， Ω的周长为 $L (x)$ .

(1)、 $S (x)$ 和 $L (x)$ 的解析式；

(2)、记 $F (x) = \frac{S (x)}{L (x)}$ ，求 $F (x)$ 的最大值.

查看试题解析
22. 如果函数 $f (x)$ 在定义域的某个区间 $[m ， n]$ 上的值域恰为 $[m ， n]$ ，则称函数 $f (x)$ 为 $[m ， n]$ 上的等域函数， $[m ， n]$ 称为函数 $f (x)$ 的一个等域区间.

(1)、若函数 $f (x) = x^{2} + 2 x$ ， $x \in R$ ，则函数 $f (x)$ 存在等域区间吗？若存在，试写出其一个等域区间，若不存在，说明理由；

(2)、已知函数 $f (x) = a^{x} + (a - p) x + b$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $p > 0$ ， $b \in R$ .
①当 $a = p$ 时，若函数 $f (x)$ 是 $[0 ， 1]$ 上的等域函数，求 $f (x)$ 的解析式；
②证明：当 $0 < a < 1$ ， $p > a + 1$ 时，函数 $f (x)$ 不存在等域区间.

查看试题解析