福建省福州市八县（市）协作校2021-2022学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-12-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = Z$ ，集合 $A = {x | 1 \leq x < 7 ， x \in Z}$ ， $B = {x | x = 2 k - 1 ， k \in Z}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ B、 ${1 ， 3 ， 5}$ C、 ${2 ， 4 ， 6}$ D、 $\emptyset$

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2. 设 $x \in R$ ，则“ $x < - 2$ ”是“ $x^{2} + x \geq 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 下列各对函数表示同一函数的是（）
⑴ $f (x) = x$ 与 $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$
⑵ $f (x) = x - 2$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2} - 4 x + 4}$
⑶ $f (x) = π x^{2}$ $(x \geq 0)$ 与 $g (r) = π r^{2}$ $(r \geq 0)$
⑷ $f (x) = | x |$ 与 $g (x) = {\begin{array}{l} x ， x \geq 0 \\ - x ， x < 0 \end{array}$ .

A、（1）（2）（4） B、（2）（4） C、（3）（4） D、（1）（2）（3）（4）

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 1 ， x \leq 1 \\ - x + 3 ， x > 1 \end{array}$ ，则 $f (f (2)) =$ （）

A、3 B、2 C、1 D、0

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5. 下列函数中，在区间 $(0, 1)$ 上是增函数的是（）

A、 $y = | x |$ B、 $y = 3 - x$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = - x^{2} + 4$

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6. 函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 - x}} + x^{0}$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， 2)$ B、 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， 2]$ C、 $(- \infty ， - 2)$ D、 $(- \infty ， 0)$

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7. 有四个幂函数：① $y = x^{- 1}$ ；② $y = x^{\frac{1}{3}}$ ；③ $y = x^{3}$ ；④ $y = x^{- 2}$ ；某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：
⑴偶函数：
⑵值域是 ${y | y \in R$ 且 $y \neq 0}$ ；
⑶在 $(- \infty ， 0)$ 上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（）

A、① B、② C、③ D、④

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8. 已知函数 $f (x) = | x | + \frac{1}{x}$ ，则函数 $y = f (x)$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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二、多选题

9. 下列四个选项中说法正确的有（）

A、 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = a b + a c + b c \Leftrightarrow a = b = c$ B、“四边形对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的充要条件 C、命题 $p ： \forall x \in R$ ， $x + | x | \geq 0$ ， $\neg p ： \exists x_{0} \in R$ ， $x_{0} + | x_{0} | < 0$ D、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$

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10. 函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、若 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上有最小值 $- 1$ ，则 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0]$ 上有最大值1 C、若 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上为增函数，则 $f (x)$ 在 $(- \infty ， - 1]$ 上为减函数 D、若 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，则 $x < 0$ 时， $f (x) = - x^{2} - 2 x$

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11. 下列说法正确的有（）

A、函数 $y = x^{2} - 3 x - 4$ 的零点是 $(4 ， 0)$ ， $(- 1 ， 0)$ B、 $x > 0$ 且 $y > 0 \Leftrightarrow \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2$ C、不等式 $\frac{2 x - 1}{3 x + 1} < 0$ 的解集是 $(- \frac{1}{3} ， \frac{1}{2})$ D、已知 $x < \frac{5}{4}$ ，则 $4 x - 2 + \frac{1}{4 x - 5}$ 的最大值为1

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12. 方程 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 的解可视为函数 $y = x + 2$ 的图象与函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象交点的横坐标，若方程 $x^{4} + a x - 4 = 0$ 的各个实根 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{k} (k \leq 4)$ 所对应的点 $(x_{i} ， \frac{4}{x_{i}}) (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k)$ 均在直线 $y = x$ 的同侧，则实数a可能取值是（）.

A、-8 B、-6 C、4 D、12

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三、填空题

13. 函数 $y = f (x)$ 满足以下条件：①定义域为R，②图象关于直线 $x = 1$ 对称，③在区间 $[2 ， + \infty)$ 上是增函数.试写出一个满足条件的解析式 $f (x) =$ .

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14. 若函数 $y = x^{2} - 2 x$ 的定义域为 $[- 1 ， m]$ ，值域为 $[- 1 ， 3]$ ，则实数m的取值范围是.

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15. 已知 $a b > 0$ ，且 $a + 4 b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为

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16. 《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设 $a ＞ 0 ， b ＞ 0$ ，称 $\frac{2 a b}{a + b}$ 为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线，交半圆于D，连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数 $\frac{a + b}{2}$ ，线段CD的长度是a，b的几何平均数 $\sqrt{a b}$ ，线段的长度是a，b的调和平均数 $\frac{2 a b}{a + b}$ ，该图形可以完美证明三者的大小关系为．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | - 2 < x \leq 3}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1 < 0}$ ， $C = {x | | x - m ∣ < 2}$ .

(1)、若 $m = 3$ ，求 $A ∩ B$ 集合；

(2)、在B，C两个集合中任选一个，补充在下面问题中，命题 $p ： x \in A$ ，命题 $q ： x \in$ ▲ ，使p是q的必要不充分条件，求m的取值范围.

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18. 函数 $f (x) = m x^{2} + n x - 2$ ，

(1)、当 $m = 0$ 时，若 $f [f (x)] = 4 x - 6$ ，求实数n的值

(2)、若 $f (x) > 0$ 的解集是 ${x | x < - 4$ 或 $x > 1}$ ，求实数m，n的值

(3)、若 $f (2) = 0$ ，且 $f (x) \leq 0$ 对一切实数R恒成立，求实数m的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 | x | + 3$ .

(1)、画出 $f (x)$ 的图象：（要求先用铅笔画出草图，再用中性笔描摹，否则不给分）

(2)、请根据图象指出函数 $f (x)$ 的单调递增区间与单调递减区间；（不必证明）

(3)、当实数k取不同的值时，讨论关于x的方程 $x^{2} - 4 | x | + 3 = k$ 的实根的个数：（不必求出方程的解）

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20. 六安市某景点单人票价200元/人，每天缆车等设备运转维护费用5000元，如果每天有x人游玩，每天需要另投入成本 $C (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2} + 20 x ， 0 < x < 218 ， x \in N^{*} \\ 210 x + \frac{16 \times 1 0^{5}}{x} - 25000 ， x \geq 218 ， x \in N^{*} \end{array}$ （单位：元），同时为了满足冬季安全保障，规定每天游玩人数不能超过600．

(1)、求该景点每天的利润y（元）关天每天的游客人数x的函数关系式；

(2)、当每天游玩该景点的人数x为多少时，该景点获利最大？

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21. 已知 $f (x) = x + \frac{a}{x} (a > 0)$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性，并证明；

(3)、若 $a = 4$ ，任意 $x_{1} ， x_{2} \in [\frac{1}{2} ， 4]$ 时， $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq m + \frac{2}{m}$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ ， $g (x) = (a + 4) x - 3$ ， $a \in R$ .

(1)、若函数 $y = f (x) - m$ 在 $x \in [- 1 ， 1]$ 上有零点，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若对任意的 $x_{1} \in [1 ， 4]$ ，总存在 $x_{2} \in [1 ， 4]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求 $a$ 的取值范围.

(3)、设 $h (x) = | f (x) + g (x) |$ ，记 $M (a)$ 为函数 $h (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上的最大值，求 $M (a)$ 的最小值.

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