重庆市大渡口区2020-2021学年九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-12-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列点位于反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 图象上的是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(- 1 ， - 3)$ C、 $(1 ， - 2)$ D、 $(- 1 ， 3)$

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2. 如图所示的几何体的俯视图是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3. 菱形、矩形、正方形都具有的性质是（）

A、四条边相等，四个角相等 B、对角线相等 C、对角线互相垂直 D、两组对边分别平行且相等

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4. 下列对一元二次方程x²+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（）

A、有两个不相等实数根 B、有两个相等实数根 C、有且只有一个实数根 D、没有实数根

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5.
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点E、F分别为AC和AB的中点，则EF=（　　）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6. 已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30个，黑球有n个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（）

A、20 B、30 C、40 D、50

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7. 九江某快递公司随着网络的发展，业务增长迅速，完成快递件数从六月份的10万件增长到八月份的12.1万件.假定每月增长率相同，设为x.则可列方程为（）

A、 $10 x + x^{2} = 12.1$ B、 $10 (x + 1) = 12.1$ C、 $10 {(1 + x)}^{2} ＝ 12.1$ D、 $10 + 10 (1 + x) = 12.1$

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8. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在斜边AB上，且AD＝CD，则下列结论中错误的是（　　）

A、∠DCB＝∠B B、BC＝BD C、AD＝BD D、∠ACD＝ $\frac{1}{2}$ ∠BDC

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9. 如图所示，三角形ABC的面积为1cm².AP垂直∠B的平分线BP于P.则与三角形PBC的面积相等的长方形是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝ $\sqrt{2}$ ，BC＝2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、1.5

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11. 如图，已知，M，N分别为锐角∠AOB的边OA，OB上的点，ON=6，把△OMN沿MN折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点P，若MN=MP=5，则PN=（）

A、2 B、3 C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{10}{3}$

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12. 如图，过原点的直线与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $A$ 在第一象限，点 $C$ 在 $x$ 轴正半轴上，连接 $A C$ 交反比例函数图象于点 $D$ ， $A E$ 为 $∠ B A C$ 的平分线，过点 $B$ 作 $A E$ 的垂线，垂足为 $E$ ，连接 $D E$ ，若 $A D = 2 D C$ ， $△ A D E$ 的面积为8，则 $k$ 的值为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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二、填空题

13. 若菱形两条对角线的长的乘积等于48，则这个菱形的面积为.

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14. 关于x的方程x²﹣kx+2＝0有两个实数根，一个根是1，另一个根为．

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15. 有一首《对子歌》中唱到：天对地，雨对风，大陆对长空.现将“天，雨，大，空”四个字书写在材质、大小完全相同的卡片上，在暗箱里搅匀后，随机抽取两张，恰为“天”、“空”二字的概率为.

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中，三个顶点的坐标分别是 $A (- 2 ， 2)$ ， $B (- 4 ， 1)$ ， $C (- 1 ， - 1)$ .以点 $C$ 为位似中心，在 $x$ 轴下方作 $△ A B C$ 的位似图形 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，并把 $△ A B C$ 的边长放大为原来的2倍，那么点 $A^{'}$ 的坐标为.

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17. 如图，正方形AFCE中，D是边CE上一点，B是CF延长线上一点，且AB=AD，若四边形ABCD的面积是24cm².则AC长是cm.

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18. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 4$ ， $B C = 6$ ，点 $O$ 、 $P$ 分别是边 $A B$ 、 $A D$ 的中点，点 $H$ 是边 $C D$ 上的一个动点，连接 $O H$ ，将四边形 $O B C H$ 沿 $O H$ 折叠，得到四边形 $O F E H$ ，连接 $P E$ ，则 $P E$ 长度的最小值是.

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三、解答题

19.

(1)、已知 $a ： b ： c = 2 ： 3 ： 5$ ，如果 $3 a - b + c = 24$ ，求 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值；

(2)、解方程： $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ .

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20. 如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点 $O$ ，延长AB至点E，使 $B E = A B$ ，连结CE.

(1)、求证： $B D = E C$ ；

(2)、若 $∠ E = 68^{\circ}$ ，求 $∠ B A D$ 的度数.

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21. 某校学生会向全校3000名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图

请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、本次接受随机调查的学生人数为，图1中 $m$ 的值是.

(2)、求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；

(3)、根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数.

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22. 小波同学根据学习函数的经验，对函数

y = \frac{2}{x - 3} + 1

的图象与性质进行了探究，下面是小波同学的探究过程，请根据题意补充完整：

(1)、下表是

y

与

x

的几组对应值：

$x$

…

－2

－1

$n$

…

$y$

…

$\frac{3}{5}$

$\frac{1}{2}$

$m$

－1

$\frac{5}{3}$

$\frac{3}{2}$

$\frac{7}{5}$

…

则 $m =$ ， $n =$ ；

(2)、在平面直角坐标系

x O y

中，补全此函数图象；

(3)、小渡同学发现

y = \frac{2}{x - 3} + 1

的图象关于平面直角坐标系中某一点或中心对称，这一点的坐标是；

(4)、根据函数图象，直接写出不等式

\frac{2}{x - 3} + 1 > 2 x - 5

的解集.

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23. 若在一个三位自然数中，十位上的数字恰好等于百位与个位上的数字之和，则称这个三位数为“奇异数”.例如，在自然数132中， $3 = 1 + 2$ ，则132是“奇异数”；在自然数462中， $6 = 4 + 2$ ，则462是“奇异数”.

(1)、请你写出最大的“奇异数”，并证明：任意一个“奇异数”一定能被11整除.

(2)、若有“奇异数”能同时被3和7整除，求出这样的“奇异数”.

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24. 某商场销售A、B两种新型小家电，A型每台进价40元，售价50元，B型每台进价32元，售价40元，4月份售出A型40台，且销售这两种小家电共获利不少于800元.

(1)、求4月份售出B型小家电至少多少台？

(2)、经市场调查，5月份A型售价每降低1元，销量将增加10台；B型售价每降低1元，销量将在4月份最低销量的基础上增加15台.为尽可能让消费者获得实惠，商场计划5月份A、B两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利965元，则这两种小家电都应降低多少元？

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25. 如图，已知一次函数 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 的图象分别交x轴、y轴交于点A、C，与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象在第一象限内交于点P，过点P作 $P B ⊥ x$ 轴，垂足为B，且 $△ A B P$ 的面积为9.

(1)、点A的坐标为，点C的坐标为，点P的坐标为.

(2)、已知点Q在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，其横坐标为6，在x轴上确定一点M，使得 $△ P Q M$ 的周长最小，求出点M的坐标.

(3)、设点E是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 在第一象限内图象上的一动点，且点E在直线 $P B$ 的右侧，过点E作 $E F ⊥ x$ 轴，垂足为F，当 $△ B E F$ 和 $△ A O C$ 相似时，求动点E的坐标.

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26. 小明与同学们在数学动手实践操作活动中，将锐角为 $45^{\circ}$ 的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转， $∠ MPN$ 的两边分别与正方形的边BC、DC或其延长线相交于点E、F，连结EF.

(1)、（探究发现）
在三角板旋转过程中，当 $∠ MPN$ 的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图 $①$ 所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系：.

(2)、（拓展思考）
在三角板旋转过程中，当 $∠ MPN$ 的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图 $②$ 所示，则线段BE、DF、EF又将满足怎样的数量关系：▲ ，并证明你的结论；

(3)、（创新应用）
若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当 $∠ MPN$ 的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长.

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