浙江省衢州市衢江区2020-2021学年九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-12-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如图，把太阳与地平线分别抽象成圆和直线，则该图所呈现的直线与圆之间的位置关系是（　　）

A、相切 B、相交 C、相离 D、相似

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2. 一个不透明的布袋中装有1个白球和2个红球，它们除颜色不同以外其他都相同，从布袋中任意摸出一个球是白球的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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3. 抛物线y＝2（x+1）²﹣3的对称轴是（　　）

A、直线x＝1 B、直线x＝﹣1 C、直线x＝3 D、直线x＝﹣3

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4. 如图，在半圆O中，若∠ABC＝70°，则∠ADC的度数为（）

A、70° B、140° C、110° D、130°

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5. 已知 $\frac{a}{3} = \frac{b}{2}$ ，则 $\frac{a - b}{b}$ 的值是（　　）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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6. 如图，在 $△$ ABC中，DE $/ /$ BC，若AD：DB＝3：2，DE＝6cm，则BC的长为（　　）

A、8cm B、10cm C、12cm D、18cm

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7. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，且PA＝8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长为（）

A、32 B、24 C、16 D、8

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8. 如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）

A、a＝ $\sqrt{2}$ b B、a＝2b C、a＝2 $\sqrt{2}$ b D、a＝4b

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9. 如图，将 $△ A B C$ 放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖 $△ A B C$ ，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是 $($ 　　 $)$

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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10. 汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关，在一个限速35km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）的关系大致如下：S_甲 $= \frac{1}{100} x^{2} + \frac{1}{10}$ ，S_乙 $= \frac{1}{200} x^{2} + \frac{1}{20} x$ .由此可以推测（）

A、甲车超速 B、乙车超速 C、两车都超速 D、两车都未超速

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二、填空题

11. 数2和8的比例中项是.

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12. 在创建全国文明城市活动中，衢州市园林部门为了扩大市区的绿化面积，进行了大量的树木移栽.如表记录的是在相同条件下移栽某种幼树的棵数和成活棵数：

移栽棵树

100

500

1000

5000

10000

成活棵树

89

458

910

4498

9000

请根据表中数据估计，现园林部门移栽50000棵这种幼树，大约能成活棵.

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13. 如图，P是⊙O外一点，过P引⊙O的切线PA、PB，若∠APB＝50°，则∠AOB＝度.

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14. 有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度. 图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD= $α$ . 若AO=85cm，BO=DO=65cm. 问：当 $α = 74 °$ ，较长支撑杆的端点 $A$ 离地面的高度 $h$ 约为 $c m$ .(参考数据： $\sin 37 \approx 0.6 ，$ $\cos 3 \approx 0.8$ ， $\sin 53 \approx 0.8 ， \cos 53 \approx 0.6$ .)

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15. 如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E，且AE经过圆心O.若OA＝3.则图中阴影部分的面积为.

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16. 定义：若抛物线与x轴有两个交点，且这两个交点与它的顶点所构成的三角形是直角三角形，则把这种抛物线称作“和美抛物线”.如图，一组抛物线的顶点B₁(1，y₁)，B₂(2，y₂)，B₃(3，y₃)，… B_n(n，y_n)（n为正整数）依次是直线y $= \frac{1}{3} x + \frac{1}{4}$ 上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是A₁(a₁ ， 0)，A₂(a₂ ， 0)，A₃(a₃ ， 0)，…A_n+1(a_n+1 ， 0)（0＜a₁＜1，n为正整数）.若这组抛物线中存在和美抛物线，则a₁＝.

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三、解答题

17. 计算： $\sqrt{27} -$ 3tan60°+（﹣1）²⁰²¹.

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18. 防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求.某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园.

(1)、小明从A测温通道通过的概率是；

(2)、（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率.

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19. 如图，直线AB与⊙O相切于点C，OA交⊙O于点D，连结CD.已知OD＝CD＝5，求AC的长.

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20. 如图，已知抛物线y＝x²+bx+c经过点A(﹣1，0)，B(3，0).

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到一条新的抛物线，设新抛物线的顶点为C，点D(0，m)在y轴上，以CD为对角线的正方形CEDF的顶点E、F恰好都在新抛物线上，试求m的值.

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21. 某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，经试销发现，该种洗手液每天的销售单价与销售量的对应关系如表所示：

销售单价（元/瓶）

16

17

18

19

20

销售量（瓶）

200

180

160

140

120

根据表中数据，解答下列问题：

(1)、从表中可以发现，该洗手液的销售单价每增加1元，销售量减少瓶；

(2)、当销售单价为多少元时，才能使当天销售这款“免洗洗手液”的利润最大，最大利润为多少元？

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22. 阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β） $= \frac{tan α + tan β}{1 - tan α tan β}$ .利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和（差），如tan75°＝tan（30°+45°） $= \frac{tan 45 ° + tan 30 °}{1 - tan 45 ° + tan 30 °} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \times \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} =$ 2 $+ \sqrt{3}$ .
问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题

(1)、求sin75°；

(2)、如图，边长为2的正 $△$ ABC沿直线滚动设当 $△$ ABC滚动240°时，C点的位置在 $C^{'}$ ，当 $△$ ABC滚动480°时，A点的位置在 $A^{'}$ .
①求tan∠ $C A C^{'}$ 的值；

②试确定 $∠ C A C^{'} + ∠ C A A^{'}$ 的度数.

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23. 如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），点E、F分别在边AD、AB上，且AE＝1.

(1)、当m＝3，AF：FB＝1：3时，求证： $△$ AEF∽ $△$ BFC；

(2)、当m＝3.5时，用直尺和圆规在图②的线段AB上确定所有使 $△$ AEF与以点B、F、C为顶点的三角形相似的点F（请保留画图痕迹）；

(3)、探究：对于每一个确定的m的值，线段AB上存在几个点F，使得 $△$ AEF与以点B、F、C为顶点的三角形相似？（直接写出结论即可）

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24. 李老师在上课时的屏幕上有如下内容：
如图，AB是⊙O的直径，点C为弧BD的中点，连结AC交BD于点E，CE＝1，，老师要求同学们在矩形方框中添加一个条件和结论后，编制成一道完整的题目，并解答.

(1)、李老师在方框中添加的内容是“BE＝3，求AB的长”，请你解答；

(2)、以下是小童和小诗的对话：
小童：我加的内容是“BE＝3，连结CD，求CD的长”.

小诗：我加的内容是“sin∠CBE $= \frac{1}{3}$ ，连结OC，求tan∠ABD的值”.

请你帮小诗完成解答；

(3)、参考第（1）题中李老师添加的内容及第（2）题中的对话，写出你想添加的内容（可以添线添字母，但所添内容不能与（1）、（2）中的内容相同），编制成一道完整的题目，并解答.

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销售单价（元/瓶）	16	17	18	19	20
销售量（瓶）	200	180	160	140	120

移栽棵树	100	500	1000	5000	10000
成活棵树	89	458	910	4498	9000