浙江省台州市温岭市五校2021-2022学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} - y = 1$ B、 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ C、 $x^{2} + \frac{1}{x} = 3$ D、 $x - 5 y = 6$

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3. 由二次函数y＝3（x﹣4）²﹣2可知（　　）

A、其图象的开口向下 B、其图象的对称轴为直线x＝4 C、其顶点坐标为（4，2） D、当x＞3时，y随x的增大而增大

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4. 已知一元二次方程 $x^{2} + k x + 3 = 0$ 有一个根为3，则 $k$ 的值为（）

A、2 B、 $- 2$ C、4 D、 $- 4$

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5. 小敏在某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线 $y = - \frac{1}{5} x^{2} +$ 3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的水平距离 $l$ 是（）

A、3.5m B、3.8m C、4m D、4.5m

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 70^{\circ}$ ，在同一平面内，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 旋转到 $△ A B^{'} C$ 的位置，使得 $C C^{'}$ $∥ A B$ ，则 $∠ B A B^{'}$ 是（）

A、 $80^{\circ}$ B、 $70^{\circ}$ C、 $50^{\circ}$ D、 $40^{\circ}$

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7. 等腰三角形的底边长为6，腰长是方程 $x^{2} - 8 x + 15 = 0$ 的一个根，则该等腰三角形的周长为（）

A、12 B、16 C、l2或16 D、15

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8. 如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，O是△ABC内一点，OA=6，OB=4 $\sqrt{2}$ ，OC=10，O′为△ABC外一点，且△CBO≌△ABO′，则四边形AO′BO的面积为（）

A、10 B、16 C、40 D、80

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9. 拋物线 $y = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c$ 为常数 $)$ 开口向下且过点 $A (1 ， 0) ， B (m ， 0) (- 2 < m < - 1)$ ，下列结论：（1） $a b c > 0$ ；（2） $2 b + c > 0$ ；（3） $a (m + 1) - b + c > 0$ ；（4） $a (x - m) (x - 1) - 1 = 0$ ，若方程有两个不相等的实数根，则 $4 a c - b^{2} < 4 a$ . 其中正确结论的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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10. 如图，在平面直角坐标系中放置 $Rt △ A B C ， ∠ A B C = 90^{\circ}$ ，点 $A (3 ， 4)$ .现将 $△ A B C$ 沿 $x$ 轴的正方向无滑动翻转，依次得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1} ， △ A_{2} B_{2} C_{2} ， △ A_{3} B_{3} C_{3} \dots$ 连续翻转 14 次，则经过 $△ A_{14} B_{14} C_{14}$ 三顶点的抛物线解析式为（）

A、 $y = - \frac{3}{5} (x - 51) (x - 55)$ B、 $y = - \frac{5}{12} (x - 51) (x - 55)$ C、 $y = - \frac{3}{5} (x - 55) (x - 60)$ D、 $y = - \frac{5}{12} (x - 55) (x - 60)$

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二、填空题

11. 点 $A (3 ， 2)$ 与点 $B$ 关于原点对称，则点 $B$ 坐标是.

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12. 如果 $m$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ 的一个根，那么 $2 m^{2} - 6 m + 2$ 的值是.

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13. 将二次函数 $y = - x^{2}$ 的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的图象的函数解析式是.

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14. 某小组有若干人，新年大家互相发一条微信视福，已知全组共发微信56条，则这个小组的人数为人.

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15. 我们把横坐标、纵坐标均为整数的点叫做整点，如 $(1 ， 0) ， (1 ， - 1)$ 等等. 若抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a (a > 0)$ 与x轴围成的封闭区域（含边界）恰好含有8个整点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ} ， A C = B C = 5$ ，动点 $P$ 满足 $P B = \sqrt{2}$ ，将线段 $C P$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到线段 $C D$ ，连接 $D B$ ，则 $B D$ 的最大值为.

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三、解答题

17. 解方程：

(1)、 $x^{2} = 5 x$

(2)、 $x^{2} + 4 x + 2 = 0$

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18. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x - k - 2 = 0$ 有两个不相等的实数根，

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、 $k$ 取符合条件的最小整数时，求此方程的根.

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19. 如图，线段 $A B$ 两端点坐标分别为 $A (- 2 ， 3) ， B (- 3 ， 0)$ .

(1)、作出线段 $A B$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 后得到的线段 $C D$ ；

(2)、点 $C$ 的坐标为，若线段 $A B$ 上有一点 $P (m ， n)$ ，则在线段 $C D$ 上的对应点 $Q$ 的坐标为.

(3)、若将线段 $C D$ 绕着某点旋转 $α (0^{\circ} < α < 180^{\circ})$ 恰好得到线段 $E F$ ，点 $C$ 与点 $E$ ，点 $D$ 与点 $F$ 是对应点，已知点 $E (3 ， 2) ， F (2 ， - 1)$ . 请通过无刻度的直尺画图找到旋转中心，将其标记为 $N$ .（保留作图痕迹）

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20. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标

x

与纵坐标

y

的对应值如下所示：

$x$	$\dots$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	$\dots$
$y$	$\dots$	0	$- 3$	$- 4$	$- 3$	0	$\dots$

(1)、求这个二次函数的表达式，并画出图象；

(2)、当

y < 0

时，直接写出

x

的取值范围；

(3)、若该图象与

x

轴的两交点分别记为

A ， B

，且

A

在

B

的左侧，点

P (2 ， m)

在该二次函数图象上，求

△ A B P

的面积.

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21. 如图，在等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = 100^{\circ} ， D$ 是 $B C$ 边上一点，把点 $D$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $100^{\circ}$ 到点 $D^{'}$ ，连接 $A D^{'} ， C D^{'} ， D D^{'}$ ，

(1)、求证： $△ A B D ≅ △ A C D^{'}$ .

(2)、当点 $D^{'} ， A ， B$ 在同一条直线上时，求证： $D^{'} D = D^{'} C$ .

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22. 阅读下面的材料，回答问题：解方程 $x^{4} - 5 x^{2}$ +4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设 $x^{2} = y$ ，那么 $x^{4} = y^{2}$ ，于是原方程可变为 $y^{2} - 5 y + 4 = 0$ （1），解得 $y_{1} = 1 ， y_{2} = 4$ ，
当 $y = 1$ 时， $x^{2} = 1 ， ∴ x = \pm 1$ ；

当 $y = 4$ 时， $x^{2} = 4 ， ∴ x = \pm 2$ ；

$∴$ 原方程有四个根： $x_{1} = 1 ， x_{2} = - 1 ， x_{3} = 2 ， x_{4} = - 2$ .

在由原方程得到方程（1）的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想.

(1)、试用上述方法解方程： $x^{4} - 2 x^{2} - 3 = 0$ ，得原方程的解为 .

(2)、解方程 ${(x^{2} + 2 x)}^{2} + 3 (x^{2} + 2 x) + 2 = 0$ .

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23. 某数学兴趣小组经过市场调研，整理出某种商品的销售信息，该商品进价60元，如果每件卖95元每天可售出46件，每件销售价格每增加5元，每天销售会减少2件，设每件销售价格增加 $x$ 元，每天售出 $y$ 件，市场管理部门规定，该种商品每件利润不能超过60元.

(1)、 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式为.

(2)、求出当 $x$ 为多少时，每天销售这种商品可获利润2090元.

(3)、设每天销吿这种商品可获得利润 $w$ 元，当 $x$ 为多少时， $w$ 最大，最大利润是多少?

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24. 如图1，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， B C = 2 \sqrt{5}$ ，将矩形 $A B C D$ 绕着点 $B$ 顺时针旋转，得到矩形 $B E F G$ .

(1)、当点 $E$ 落在 $B D$ 上时，则线段 $D E$ 的长度等于；

(2)、如图2，当点 $E$ 落在 $A C$ 上吋，则 $△ A B E$ 的面积为；

(3)、如图3，连接 $A E ， C E ， A G ， C G$ ，判断 $A E$ 与 $C G$ 的位置关系并说明理由；

(4)、在旋转过程中，求出 $S_{△ B C E} + S_{△ A B G}$ 的最大值.

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