天津市滨海新区2021-2022学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-12-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 一元二次方程 $x (x - 4) = 0$ 的两个根是（）

A、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 4$ B、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 4$ C、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 4$ D、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 4$

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3. 用配方法解方程 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ ，配方后的方程是（）

A、 ${(x + 1)}^{2} = 2$ B、 ${(x + 1)}^{2} = - 2$ C、 ${(x + 1)}^{2} = 0$ D、 ${(x - 1)}^{2} = 2$

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4. 对于抛物线 $y = 3 {(x - 6)}^{2} - 5$ ，下列说法正确的是（）

A、开口向上，顶点坐标 $(- 6 ， - 5)$ B、开口向上，顶点坐标 $(6 ， - 5)$ C、开口向下，顶点坐标 $(- 6 ， 5)$ D、开口向下，顶点坐标 $(6 ， 5)$

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5. 将抛物线 $y = 4 x^{2}$ 向下平移2个单位，所得到的新抛物线的解析式为（）

A、 $y = 4 x^{2} + 2$ B、 $y = 4 x^{2} - 2$ C、 $y = 4 {(x + 2)}^{2}$ D、 $y = 4 {(x - 2)}^{2}$

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6. 如图， $⊙ O$ 的直径为10，AB为弦， $O C ⊥ A B$ ，垂足为C，若OC＝4，则弦AB的长为（）

A、10 B、8 C、6 D、4

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7. 如图，四边形ABCD为 $⊙ O$ 的内接四边形，已知 $∠ B C D ＝ 140 °$ ，则 $∠ B O D$ 的度数为（）

A、40° B、50° C、80° D、100°

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8. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，C，D是 $⊙ O$ 上的两点，连接AC，CD，AD，若 $∠ A D C = 75 °$ ，则 $∠ B A C$ 的度数是（）

A、15° B、25° C、30° D、75°

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到 $△ A E D$ ，使点 $B$ 的对应点 $E$ 恰好落在边 $A C$ 上，点 $C$ 的对应点为 $D$ ，延长 $D E$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $A C = D E$ B、 $A B = E F$ C、 $∠ C E F = ∠ D$ D、 $B C ⊥ D F$

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10. 某种植基地2020年蔬菜产量为90吨，预计2022年蔬菜产量达到110吨，求蔬菜产量的年平均增长率．设蔬菜产量的年平均增长率为 $x$ ，则可列方程为（）

A、 $90 {(1 + x)}^{2} = 110$ B、 $110 {(1 - x)}^{2} = 90$ C、 $90 (1 + 2 x) = 110$ D、 $90 (1 + x^{2}) = 110$

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 75 °$ ，以点A为旋转中心，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，点B、C的对应点分别为D、E，连接CE，若 $C E ∥ A B$ ，则 $∠ C A D$ 的大小是（）

A、15° B、25° C、35° D、45°

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12. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $(- 3 ， 0)$ ，其对称轴为直线 $x = - \frac{1}{2}$ ，结合图象分析下列结论：① $a b c < 0$ ；②当 $x < 0$ 时，y随x的增大而增大；③ $\frac{4 a c - b^{2}}{4 a} > 0$ ；④ $3 a + c > 0$ ；⑤若m，n（ $m < n$ ）为方程 $a (x + 3) (x - 2) + 3 = 0$ 的两个根，则 $m < - 3$ 且 $n > 2$ ．其中符合题意结论的个数是（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5

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二、填空题

13. 点 $(- 4 ， 7)$ 关于原点对称的点的坐标是．

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14. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + c = 0$ 有两个实数根，则 $c$ 的取值范围为．

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15. 已知二次函数 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + b x - 9$ 的图象与 $x$ 轴只有一个公共点，则此公共点的坐标是．

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16. 已知抛物线y=ax²+bx+c=0(a≠0)与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为．

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17. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ B = 90 °$ ， $A D = 5$ ， $C D = 4$ ，则 $S_{△ O C D}$ 的值为．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C A = C B = 8 cm$ ，点D为 $△ A B C$ 内一点， $∠ A C D = 15 °$ ， $C D = 3 cm$ ，连接AD，将 $△ A C D$ 绕点C按逆时针方向旋转，使CA与CB重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交BC于点F，则BF的长为cm．

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三、解答题

19. 解下列方程

(1)、 $x^{2} + 6 x - 7 = 0$ （配方法）；

(2)、 $5 x^{2} - 4 x - 1 = 0$ （公式法）．

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20. 抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 的顶点为P，与 $y$ 轴的交点为C．

(1)、抛物线的对称轴是；顶点P的坐标是；交点C的坐标是．

(2)、列表、描点画这条抛物线．

$x$

…

…

$y = - x^{2} + 2 x + 3$

…

…

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21. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 120 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转，得 $△ E D C$ ，D，E分别是点B，A的对应点．记旋转角为 $α$ ．

(1)、如图①，连接AD，若 $B C = 6$ ， $A C = 8$ ， $α = 30 °$ ，求AD的长；

(2)、如图②，连接BD，若 $α = 60 °$ ，求证： $B D ∥ A C$ ．

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22. 已知 $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $∠ A C B$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ．

(1)、如图①，若 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A B = 6$ ，求 $A D$ 的长；

(2)、如图②，若 $∠ B A C$ 的平分线交 $C D$ 于点 $E$ ，求证： $D E = D A$ ．

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23. 商城某种商品平均每天可销售20件，每件获得利润40元，为庆元旦，决定对该商品进行促销活动，经调查发现，该商品每件每降价1元，平均每天可多售出2件．设该商品每件降价x元，请解答下列问题：

(1)、用含x的代数式表示：
①降价后每售一件该商品获得利润元；

②降价后平均每天售出件该商品；

(2)、在此次促销活动中，商城若要获得最大利润，每件该商品应降价多少元？此时每天获得最大利润为多少元？

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24. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ．

(1)、如图，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC．
求证：① $△ B A D ≌ △ C A E$ ；

② $B C = D C + E C$ ．

(2)、如图，D为 $△ A B C$ 外一点，且 $∠ A D C = 45 °$ ，仍将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，ED，BD．
① $△ B A D ≌ △ C A E$ 的结论是否仍然成立？并请你说明理由；

②若 $B D = 12$ ， $C D = 4$ ，求AD的长．

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25. 抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + m x + n$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $D$ ，已知 $A (- 1 ， 0)$ ， $C (0 ， 2)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$ ，使 $△ P C D$ 是以 $C D$ 为腰的等腰三角形？如果存在，求出 $P$ 点的坐标；如果不存在，请说明理由；

(3)、点 $E$ 是线段 $B C$ 上的一个动点，过点 $E$ 作 $x$ 轴的垂线与抛物线相交于点 $F$ ，当四边形 $C D B F$ 的面积最大时，求点 $E$ 的坐标．

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$x$	…						…
$y = - x^{2} + 2 x + 3$	…						…