山东省淄博市沂源县2021-2022学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-12-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 二次函数y＝a $x^{2}$ ，当a＜0时，y的值恒小于0，则自变量x的取值范围（）

A、x可取一切实数 B、x＞0 C、x＜0 D、x≠0

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2. 已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程 $x^{2} - 3x + m = 0$ 的两实数根是（）

A、x₁＝1，x₂＝－1 B、x₁＝1，x₂＝2 C、x₁＝1，x₂＝0 D、x₁＝1，x₂＝3

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3. 如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）

A、5sin36°米 B、5cos36°米 C、5tan36°米 D、10tan36°米

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4. 一个公共房门前的台阶高出地面1.2 m，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（）

A、斜坡AB的坡度是10° B、斜坡AB的坡度是tan10° C、AC＝1.2tan10° m D、AB＝ $\frac{1.2}{\cos 10^{\circ}}$ m

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5. 下列式子错误的是（　　）

A、cos40°=sin50° B、tan15°•tan75°=1 C、sin²25°+cos²25°=1 D、sin60°=2sin30°

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6. 如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）

A、2 $\sqrt{3}$ m B、2 $\sqrt{6}$ m C、(2 $\sqrt{3}$ ﹣2)m D、(2 $\sqrt{6}$ ﹣2)m

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7.
二次函数 $y = 2 x^{2} + m x + 8$ 的图象如图所示，则m的值是

A、－8 B、8 C、±8 D、6

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8. 已知二次函数y＝2 $x^{2}$ ﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ 三点满足 $S_{△ A B P_{1}} = S_{△ A B P_{2}} = S_{△ A B P_{3}}$ =m，则m的值是（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、4

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9. 某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为（）人

A、56 B、55 C、54 D、53

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10. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴有两个交点，坐标分别是（x₁ ， 0），（x₂ ， 0），且 $x_{1} < x_{2}$ . 图象上有一点 $M (x_{0} ， y_{0})$ 在 $x$ 轴下方，则下列判断正确的是（）

A、 $a > 0$ B、 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ C、 $x_{1} < x_{0} < x_{2}$ D、 $a (x_{0} - x_{1}) (x_{0} - x_{2}) < 0$

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11. 如图是抛物线y₁=ax²+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y₂=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax²+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y₂＜y₁ ，

其中正确的是（）

A、①②③ B、①③④ C、①③⑤ D、②④⑤

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12. △ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，那么下列结论正确的是（）

A、csinA= a B、b cosB=c C、a tanA= b D、ctanB= b

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二、填空题

13. 若 $y = (1 - m) x^{m^{2} - 2}$ 是二次函数，且图象开口向下，则 $m$ 的值为．

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14. 在Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝10，BC＝6，tanA＝．

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15. 如图，在正方形网格中， $△ A B C$ 的顶点都在格点上，则 $\cos B + \sin B$ 的值为．

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16. 在平面直角坐标系中，将抛物线y＝ $x^{2}$ ﹣（a﹣2）x+ $a^{2}$ ﹣1向右平移4个单位长度，平移后的抛物线与y轴的交点为A（0，3），则平移后的抛物线的对称轴为．

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17. 已知二次函数y=ax²+2ax+3a²+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为.

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三、解答题

18. 计算：

(1)、 $\sqrt{3}$ cos30°+ $\sqrt{2}$ sin45°；

(2)、6tan²30°﹣ $\sqrt{3}$ sin 60°﹣2sin 45°．

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19. 已知抛物线y＝x²﹣2x﹣15．

(1)、求该抛物线的顶点坐标；

(2)、求图象与x轴的交点坐标；

(3)、当x取何值时，函数值大于0？

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20. 据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学用所学过的知识在一条笔直的道路上检测车速．如图，观测点C到公路的距离CD为100米，检测路段的起点A位于点C的南偏西60°方向上，终点B位于点C的南偏西45°方向上．某时段，一辆轿车由西向东匀速行驶，测得此车由A处行驶到B处的时间为4秒．问此车是否超过了该路段16米/秒的限制速度？（参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.4， $\sqrt{3}$ ≈1.7）

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21. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= $\frac{5}{13}$ ，D在BC边上，且∠ADC=45°，AC=5．求∠BAD的正切值．

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22. 如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y= $- \frac{1}{6}$ x²+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为 $\frac{17}{2}$ m.

(1)、求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；

(2)、一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？

(3)、在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

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23. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + 2 m x + 2 m^{2} - m$ 的顶点为A ．

(1)、求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）；

(2)、若点 $B (2 ， y_{B})$ ， $C (5 ， y_{C})$ 在抛物线上，且 $y_{B} > y_{C}$ ，则m的取值范围是；（直接写出结果即可）

(3)、当 $1 \leq x \leq 3$ 时，函数y的最小值等于6，求m的值．

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24. 如图，抛物线y＝x²+bx+c交x轴于A（﹣ $\frac{3}{4}$ ，0）、B两点，交y轴于点C（0，﹣3），点D是线段BC下方的抛物线上一个动点，过点D作DE⊥x轴于点E，交线段BC于点F．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、求△BCD面积的最大值，并写出此时点D的坐标．

(3)、是否存在点D，使得△CDF与△BEF相似，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．

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