内蒙古自治区呼和浩特市2021-2022学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-12-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列方程中，一元二次方程是（）

A、2x＋1＝0 B、 $x^{2} + \frac{1}{x} = 0$ C、x²﹣3＝0 D、x﹣2y＝0

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3. 往直径为 $52 c m$ 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽 $A B = 48 c m$ ，则水的最大深度为（）

A、 $8 c m$ B、 $10 c m$ C、 $16 c m$ D、 $20 c m$

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4. 将抛物线y＝x²向上平移4个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）

A、y＝（x＋1）²＋4 B、y＝（x﹣1）²＋4 C、y＝（x＋4）²﹣1 D、y＝（x﹣4）²

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5. 已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为（）

A、1 B、7 C、4或3 D、7或1

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6. 函数y＝ax²﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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7. 如下图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（）

A、96° B、98° C、102° D、100°

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8. 已知a是一元二次方程x²﹣3x﹣5＝0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（）

A、﹣2＜a＜﹣1 B、2＜a＜3 C、﹣4＜a＜﹣3 D、4＜a＜5

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9. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B P$ 的外接圆，半径 $r = 2$ ， $∠ A P B = 45^{\circ}$ ，则弦 $A B$ 的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、2 $\sqrt{2}$ D、4

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10. 如图，二次函数y=ax²+bx+c（a $\neq$ 0）的图象过点（-2，0），对称轴为直线x=1.有以下结论：①abc>0；②8a+c>0；③若A（x₁ ， m），B（x₂ ， m）是抛物线上的两点，当x=x₁+x₂时，y=c；④若方程a（x+2）（4-x）=-2的两根为x₁ ， x₂ ，且x₁<x₂ ，则-2 $\leq$ x₁<x₂<4.
其中结论正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 将点P（-2，3）向右平移3个单位得到点P₁ ，点P₂与点P₁关于原点对称，则P₂的坐标是

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12. 抛物线的形状大小、开口方向都与y＝﹣12x²相同且顶点为（1，﹣2），则该抛物线的解析式为．

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13. 某种药品连续两次降价后，由每盒200元下调到每盒128元，这种药品每次降价的百分率为．

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14. 如图，点P（x，y）在抛物线y＝﹣（x﹣1）²+2的图象上，若﹣1＜x＜2，则y的取值范围是．

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15. 如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为 $2 \sqrt{3} ， \sqrt{2} ， 4$ 则正方形ABCD的面积为

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16. 已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），且过A（0，b），B（3，a）两点（b，a是实数），若0＜m＜n＜2，则ab的取值范围是．

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三、解答题

17. 用适当的方法解下列方程．

(1)、x²﹣3x＋1＝0；

(2)、（x＋4）²＝5（x＋4）；

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18. 已知 $α$ 、 $β$ 是关于x的一元二次方程x²＋（2m＋3）x＋m²＝0的两个不相等的实数根．

(1)、试确定m的取值范围；

(2)、当 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = - 1$ 时，求m的值．

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19. 如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y=﹣ $\frac{1}{5}$ x²+3.5运行，然后准确落入篮框内．已知篮框的中心离地面的距离为3.05米．

(1)、球在空中运行的最大高度为多少米？

(2)、如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少？

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20. 分别画出 $△ A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 和 $180 °$ 后的图形．

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21. 某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示：

(1)、求y与x的函数解析式(也称关系式)；

(2)、求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.

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22. 如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．

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23. 已知等边△ABC，点D为BC上一点，连接AD.

图1 图2

(1)、若点E是AC上一点，且CE＝BD，连接BE，BE与AD的交点为点P，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出∠APE的大小；

(2)、将AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接BF交AC于点Q，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明.

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24. 已知抛物线 $y = a x^{2} + k x + h (a > 0)$

(1)、通过配方可以将其化成顶点式为，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x轴（填上方或下方），即 $4 a h - k^{2}$ 0（填大于或小于）时，该抛物线与x轴必有两个交点；

(2)、若抛物线上存在两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方，请你结合A、B两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的符合题意性给以说明；（为了便于说明，不妨设 $x_{1} < x_{2}$ 且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）

(3)、利用二次函数（1）（2）结论，求证：当 $a > 0$ ， $(a + c) (a + b + c) < 0$ 时， ${(b - c)}^{2} > 4 a (a + b + c)$ ．

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