上海市徐汇区2021-2022学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-12-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 13$ ， $B C = 5$ ，则 $\sin A$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{12}{13}$ C、 $\frac{5}{13}$ D、 $\frac{12}{5}$

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2. 下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：

$x$

…

-2

0

1

3

…

$y$

…

6

-4

-6

-4

…

下列各选项中，正确的是

A、这个函数的图象开口向下 B、这个函数的图象与x轴无交点 C、这个函数的最小值小于-6 D、当 $x > 1$ 时，y的值随x值的增大而增大

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3. 下列命题中是假命题的是（）

A、若 $\vec{a} = \vec{b} ， \vec{b} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ B、 $2 (\vec{a} - \vec{b}) = 2 \vec{a} - 2 \vec{b}$ C、若 $\vec{a} = - \frac{1}{2} \vec{b}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ D、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$

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4. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）的图象如图所示，点 $P$ 在 $x$ 轴的正半轴上，且 $O P = 1$ ，则下列结果错误的是（）

A、 $a < 0$ B、 $b > 0$ C、 $b^{2} - 4 a c > 0$ D、 $a + b + c < 0$

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5. 如图， $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ ， $B E$ 交 $C D$ 于点 $O$ ，以下结论正确的个数为（）
（1） $△ B O D ∽ △ C O E$ ；（2） $S_{△ B O D} = S_{△ C O E}$ ；（3） $\frac{S_{△ D O E}}{S_{△ D O B}} = \frac{A D}{A B}$ ；（4） $\frac{S_{△ D O E}}{S_{△ B O C}} = {(\frac{A D}{D B})}^{2}$ ．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，（ OC⊥OB ，点A、B、C、D、O在同一平面内），已知AB＝a ， AD＝b ， ∠BCO＝α ．则点A到OC的距离等于（）

A、asinα+bsinα B、acosα+bcosα C、asinα+bcosα D、acosα+bsinα

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二、填空题

7. 如果 $\frac{a}{5}$ = $\frac{b}{3}$ ，那么 $\frac{a - b}{a + b}$ 的值等于．

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8. 上海与南京的实际距离约350千米，在比例尺为1：5 000 000的地图上，上海与南京的图上距离约厘米．

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9. 将二次函数 $y = 2 {(x - 1)}^{2} + 3$ 图象向左平移 $1$ 个单位后，所得图象的解析式是．

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10. 某小山坡的坡长为 $200$ 米，山坡的高度为 $100$ 米，则该山坡的坡度 $i =$ ．

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11. 如果二次函数 $y = - 3 {(x - 2)}^{2} + m$ 的图象经过坐标原点，那么 $m$ 的值为．

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12. 若点 $A (- 3 ， y_{1})$ 、 $B (0 ， y_{2})$ 是二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 5$ 图象上的两点，那么 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系是（填 $y_{1} > y_{2}$ 、 $y_{1} = y_{2}$ 或 $y_{1} < y_{2}$ ）．

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13. 已知 $P$ 为线段 $M N$ 上一点，且 $P M$ 为 $M N$ 、 $P N$ 比例中项，若 $M N = 4$ ，则 $P M =$ ．

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14. 如图，△ABC中，∠BAC=90°，点G是△ABC的重心，如果AG=4，那么BC=.

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15. 如图，已知点 $M$ 是 $△ A B C$ 边 $B C$ 上一点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{a}$ ，如果 $\vec{A M} = \frac{2}{5} \vec{a} + \frac{3}{5} \vec{b}$ ，那么 $\frac{B M}{M C} =$ ．

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16. 如图，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，点 $C$ 的坐标为 $(0 ， 1)$ ，过点 $C$ 的直线与二次函数 $y = x^{2}$ 的图象交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $B C = 3 A C$ ，则点 $A$ 的坐标为．

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17. 定义：如果两条线段将一个三角形分成 $3$ 个互相没有重合部分的等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线（如图1所示）．如图2，已知在 $△ A B C$ 中， $A C = 2$ ， $B C = 3$ ， $∠ C = 2 ∠ B$ ，则 $△ A B C$ 的三分线中，较短的那条长为．（只需写出一种情况即可）．

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18. 计算： $2 \cos 30 ° + \tan 45 ° - 2 \sin 30 ° - \cot 30 ° =$ ．

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三、解答题

19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 6$ ，求 $\cos A$ 的值．

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20. 已知抛物线 $y = {ax}^{2} + bx + c$ 与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．

(1)、求抛物线的解析式和顶点坐标；

(2)、请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．

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21. 已知：如图，点 $D$ 、 $F$ 在 $△ A B C$ 边 $A C$ 上，点 $E$ 在边 $B C$ 上，且 $D E ∥ A B$ ， $C D^{2} = C F \cdot C A$ ．

(1)、求证： $E F ∥ B D$ ；

(2)、如果 $\frac{C F}{C D} = \frac{3}{5}$ ，求 $△ D E F$ 与 $△ A B D$ 的周长比．

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22. 图①为一种平板电脑保护套的支架效果图，AM固定于平板电脑背面，与可活动的MB、CB部分组成支架．平板电脑的下端N保持在保护套CB上．不考虑拐角处的弧度及平板电脑和保护套的厚度，绘制成图②．其中AN表示平板电脑，M为AN上的定点，AN＝CB＝20cm，AM＝8cm，MB＝MN．我们把∠ANB叫做倾斜角．

(1)、当倾斜角为45°时，求CN的长；

(2)、按设计要求，倾斜角能小于30°吗？请说明理由．

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23. 已知：如图， $D$ 为 $A B$ 边上一点， $A C^{2} = A D \cdot A B$ ， $A E ⊥ B C$ ，与 $C D$ 交于点 $G$ ， $A F ⊥ C D$ ．

(1)、求证： $\frac{A E}{A F} = \frac{C B}{C D}$ ；

(2)、联结 $E F$ ，若 $A F$ 平分 $∠ D A G$ ，求证： $\frac{E G}{A E} = \frac{D F^{2}}{A F^{2}}$ ．

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24. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 1$ 经过点 $A (2 ， - 1)$ ，它的对称轴与 $x$ 轴相交于点 $B$ ．

(1)、求点 $B$ 的坐标；

(2)、如果直线 $y = x + 1$ 与此抛物线的对称轴交于点 $C$ 、与抛物线在对称轴右侧交于点 $D$ ，且 $∠ B D C = ∠ A C B$ ，求此抛物线的表达式；

(3)、在（2）的条件下，若 $P$ 为抛物线上一点，且 $∠ P D C = ∠ D B C + 45 °$ ，直接写出点 $P$ 坐标．

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25. 如图，已知Rt $△ A B C$ 和Rt $△ C D E$ ， $∠ A C B = ∠ C D E = 90 °$ ， $∠ C A B = ∠ C E D$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，点 $D$ 在边 $A B$ 上，射线 $C E$ 交射线 $B A$ 于点 $F$ ．

(1)、如图，当点 $F$ 在边 $A B$ 上时，联结 $A E$ ．
①求证： $A E ∥ B C$ ；

②若 $E F = \frac{1}{2} C F$ ，求 $B D$ 的长；

(2)、设直线 $A E$ 与直线 $C D$ 交于点 $P$ ，若 $△ P C E$ 为等腰三角形，求 $B F$ 的长．

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$x$	…	-2	0	1	3	…
$y$	…	6	-4	-6	-4	…