山西省吕梁市孝义市、离石区2021-2022学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-12-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（）

A、4x²＋ $\frac{3}{x} + 2 = 0$ B、2x²﹣y﹣1＝0 C、ax²＋2x＋1＝0 D、x（4x﹣2）＝0

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2. 如图，将含有30°角的三角尺ABC（∠BAC＝30°），以点A为中心，顺时针方向旋转，使得点C，A，B′在同一直线上，则旋转角的大小是（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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3. 方程x²＝x的两个实数根是（）

A、x₁＝x₂＝1 B、x₁＝1，x₂＝﹣1 C、x₁＝0，x₂＝1 D、x₁＝0，x₂＝﹣1

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4. 将关于x的方程x²﹣6x＋8＝0配方成（x﹣3）²＝p的形式，则p的值是（）

A、1 B、28 C、17 D、44

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5. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + m = 0$ 有实数根，则实数m的取值范围是（）

A、 $m < \frac{9}{4}$ B、 $m \leq \frac{9}{4}$ C、 $m > \frac{9}{4}$ D、 $m \geq \frac{9}{4}$

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6. 将二次函数y＝﹣2（x﹣1）²﹣2的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则所得到的二次函数的解析式是（）

A、y＝﹣2（x﹣3）²﹣1 B、y＝﹣2（x＋1）²﹣1 C、y＝﹣2（x＋1）²﹣3 D、y＝﹣2（x﹣3）²﹣3

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7. 冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类．在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下面所列方程正确的是（）

A、3x（x＋1）＝363 B、3＋3x＋3x²＝363 C、3（1＋x）²＝363 D、3＋3（1＋x）＋3（1＋x）²＝363

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8. 已知二次函数y=x²﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x²﹣4x+m=0的两个实数根是（）

A、x₁=1，x₂=﹣1 B、x₁=﹣1，x₂=2 C、x₁=﹣1，x₂=0 D、x₁=1，x₂=3

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9. 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：

x	…	﹣3	﹣2	﹣1	0	1	…
y	…	﹣3	﹣2	﹣3	﹣6	﹣11	…

则关于该二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（）

A、开口方向向上 B、当x＞﹣2时，y随x增大而增大 C、函数图象与x轴没有交点 D、函数有最小值是﹣2

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10. 在同一平面直角坐标系中，函数y=ax²+bx与y=bx+a的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 如图，在⊙O中， $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{B C}$ ，半径OC与AB交于点D，若AB＝8cm，OB＝5cm，则CD＝cm．

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12. 2022年2月4日—2月20日，北京冬奥会将隆重开幕，北京将成为世界上第一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的国家．下面图片是在北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一幅图片，整个图片由“京字组成的雪花图案”、“beijing2022”、“奥运五环”三部分组成．对于图片中的“雪花图案”，至少旋转°能与原雪花图案重合．

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13. 已知点A（4，y₁）和点B（﹣1，y₂）是二次函数y＝﹣2（x﹣1）²＋m（m为常数）的图象上两点，则y₁和y₂的大小关系是．

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14. 2018年我国高速铁路总里程为2.9万公里，2020年我国高速铁路总里程达到3.8万公里，高速铁路已经覆盖了全国80%以上的大城市，形成以“八纵八横”主通道为骨架、区域连接线衔接、城际铁路补充的高速铁路网．若设2018年到2020年我国高速铁路总里程的平均年增长率为x，则依题意可列方程为．

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15. 如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，若四边形EFGH是矩形，且其周长是20，则四边形ABCD的面积的最大值是．

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三、解答题

16. 解方程：

(1)、x（x＋10）＝﹣9；

(2)、x（2x＋3）＝8x＋12

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17. 如图，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于G，判断弧 $\overset{⌢}{E F}$ 和弧 $\overset{⌢}{FG}$ 是否相等，并说明理由．

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18. 在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（5，4），B（1，3），C（3，1），点P（a，b）是△ABC内的一点．

(1)、以点O为中心，把△ABC顺时针旋转90°，画出旋转后的△A₁B₁C₁ ，并写出A₁ ， B₁ ， C₁的坐标．（注：点A与A₁ ， B与B₁ ， C与C₁分别是对应点）

(2)、点P的对应点P₁的坐标是；

(3)、若以点O为中心，把△ABC逆时针旋转90°，则点P的对应点P₂的坐标是，点P₁与点P₂关于对称．（填写“x轴”、“y轴”或“原点”）

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19. 阅读下列材料，并完成相应学习任务：
一元二次方程在几何作图中的应用

如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，求作一个矩形，使其周长和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的2倍．

因为矩形ABCD的周长是14，面积是12，所以所求作的矩形周长是28，面积是24

若设所求作的矩形一边的长为x，则与其相邻的一边长为14﹣x，所以，得x（14﹣x）＝24，解得x₁＝2，x₂＝12

当x＝2时，14﹣x＝12；当x＝12时，14﹣x＝2，所以求作的矩形相邻两边长分别是2和12

如图2，在边AB的延长线取点G，使得AG＝4AB．在AD上取AE＝ $\frac{1}{2}$ AD，以AG和AE为邻边作出矩形AGFE，则矩形AGFE的周长和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的2倍．

学习任务：

(1)、在作出矩形AGFE的过程中，主要体现的数学思想是___________；（填出序号即可）

A、转化思想； B、数形结合思想； C、分类讨论思想； D、归纳思想

(2)、是否存在一个矩形，使其周长与面积分别是矩形ABCD的周长和面积的 $\frac{1}{2}$ ？若存在，请在图1中作出符合条件的矩形；若不存在，请说明理由．

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20. 漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如长虹岀水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA＝60米，在水面的跨度BC＝80米，桥面距水面的垂直距离OE＝7米，以桥面所在水平线为x轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系．

(1)、求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；

(2)、求桥拱最高点到水面的距离是多少米？

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21. 下面是小明解决某数学问题的过程，请认真阅读并解决相应学习任务：
数学问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：（）．现已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每个星期的利润达到6080元，且顾客能够得到更大的实惠？

解：设…，

根据题意，所列出方程：（20﹣x）（300＋ $\frac{x}{2}$ ×40）＝6080，

…

根据小明所列方程，完成下列任务：

(1)、填空：数学问题中括号处短缺的条件是，小明所列方程中未知数x的实际意义是．

(2)、请你重新设一个未知数，要求所设未知数与小明所列方程中未知数的意义不同，并结合所补充的条件，解决上面的数学问题．

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22. 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，将△ADE以点A为中心，顺时针旋转90°，得到△ABF，连接EF．过点A作AG⊥EF，垂足为G．试猜想FG与GE的数量关系，并证明．

(1)、独立思考：请你解决老师所提出的问题；

(2)、拓展探究：智慧小组在老师所提问题的基础上，连接DG，他们认为DG平分∠ADC．请你利用图2说明，智慧小组所提出的结论是否符合题意？请说明理由；

(3)、问题解决：在图2中，若AD＋DE＝28，则四边形AGED的面积为．（直接写出答案即可）

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23. 已知抛物线y＝x²﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是y轴右侧抛物线上一个动点．

(1)、求出点A，B，C的坐标；

(2)、如图1，当点D在第四象限时，求出△BCD面积的最大值，并求出这时点D坐标；

(3)、当∠DAB＝∠ABC时，求出点D的坐标．

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